Pierwiastek z liczby zespolonej

[kmph]

Witam. Chciałbym wyciągnąć pierwiastek z liczby zespolonej \(\displaystyle{ 1-8i}\). Zabieram się do tego tak:

\(\displaystyle{ \left(a+ib\right)\left(a+ib\right)=1-8i\\\begin{cases}a^2-b^2=1\\2ab=-8\end{cases}\\ab=-4\\a=-\frac{4}{b}\\\frac{16}{b^2}-b^2=1\\16-b^4=b^2\\b^4+b^2-16=0}\)
, a to ostatnie równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych!!

Co jest qrka wodna, przecież ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte, musi się dać wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z \(\displaystyle{ 1-8i}\)!

Jak znam siebie, to zafiksowałem się pewnie na jakimś idiotycznym błędzie, gdyby ktoś był uprzejmy mi go wskazać... byłbym wielce zobowiązany.

[szw1710]

\(\displaystyle{ b^4+b^2-16=0}\)

Czemu nie ma rozwiązań rzeczywistych? Policz dokładnie. Metoda w 100% poprawna.

Proponuję zacząć od prostszego rachunkowo zadania \(\displaystyle{ \sqrt{3-4i}}\).

[kmph]

No tak, dzięki. A jednak durny błąd. Ubrdałem sobie, że delta jest ujemna, podczas gdy jest dodatnia.