wyznaczyć z takie, że liczba w jest rzeczywista

[matinf]

Witam,
\(\displaystyle{ w= \frac{z+1}{1-z}}\)
Wyznaczyć takie zespolone z, że liczba w jest rzeczywista.

Nie wiem jak mam się do tego zabrać. Niby mogę przedstawić w postaci algebraicznej, pozbyć się urojenia w mianowniku. ALe do na dłuższą metę nic nie da. Jak to rozwiązać?

[robertm19]

Mnie się wydaję, że jednak da. Zapisz to co ci wyszło.

[matinf]

\(\displaystyle{ w= \frac{z+1}{1-z} = \frac{a+bi+1}{1-a-bi} = \frac{(a+1+bi)(1-a+bi)}{(1-a-bi)(1-a+bi)} \\
= \frac{-b^2 -a^2 + 1 + 2bi}{1-2a+a^2+b^2}}\)

Przy części urojonej stoi b. Gdy b=0 i a różne od 1 to nie ma częsci urojonej.

Jedyne co mi się nasuwa:

\(\displaystyle{ z=(k, 0),}\) gdzie
\(\displaystyle{ k \in R - {0}}\)

[robertm19]

Czyli \(\displaystyle{ b=0}\), zatem \(\displaystyle{ w=\frac{1-a^2}{1-2a+a^2}=\frac{(1-a)(1+a)}{(1-a)^2}=\frac{1+a}{1-a}}\). Czyli tak będzie odpowiedź: \(\displaystyle{ z=a}\) gdzie \(\displaystyle{ a\neq 1}\).

[matinf]

hmm, a czy moja odpowiedź jest też prawidłowa?
\(\displaystyle{ z=(a, 0)}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) nie jest jedynką.

[robertm19]

Tak, ale k musi byc różne od 1.