Witam, chciałbym abyście sprawdzili moje rozwiązanie poniższego zadania:
"Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki:
a) \(\displaystyle{ arg(z)=\frac{ \pi }{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} < arg(iz) < \pi}\)
c)\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6} < arg(z-i) \le \frac{\pi}{3}}\)
a)
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ z=|z|(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ z=|z|(0+1i)}\)
\(\displaystyle{ Re(z)=0 \wedge Im(z)>0}\)
czyli wykresem będzie pionowa linia w \(\displaystyle{ x=0}\), tak?
sposób rozwiązywania bi c znalazłem w internecie, nie wiem czy jest dobry
b)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} < arg(iz) < \pi}\)
\(\displaystyle{ arg(iz)=arg(i)+arg(z)=\frac{\pi}{2}+arg(z)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2}+arg(z)<\pi |-\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ 0<arg(z)<\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin0<sin(arg(z))<sin\frac{\pi}{2} \wedge cos0>cos(arg(z))>cos\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ 0<sin(arg(z))<1 \wedge 1>cos(arg(z))>0}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ 0<\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}<1 \wedge 1>\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}>0 |^2}\)
\(\displaystyle{ 0<\frac{y^2}{x^2+y^2}<1 \wedge 1>\frac{x^2}{x^2+y^2}>0 |\cdot (x^2+y^2)}\)
\(\displaystyle{ 0<y^2<x^2+y^2 \wedge x^2+y^2>x^2>0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2>0 \\ y^2>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ Re(z)>0 \wedge Im(z)>0}\)
czyli cała I ćwiartka jest rozwiązaniem?
c)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}<arg(z-i) \le \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin\frac{\pi}{6}<sin(arg(z-i))\le sin\frac{\pi}{3} \\ cos\frac{\pi}{6}>cos(arg(z-i)) \ge cos\frac{\pi}{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2}<sin(arg(z-i))\le \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}>cos(arg(z-i))\ge \frac{1}{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ z-i=x+iy-i=x+(y-1)i}\)
\(\displaystyle{ |z-i|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\)
\(\displaystyle{ sin(arg(z-i))=\frac{y-1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \wedge cos(arg(z-i))=\frac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}<\frac{y-1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \le \frac{\sqrt{3}}{2} \wedge \frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \ge \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 1<\frac{2(y-1)}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \le \sqrt{3} \wedge \sqrt{3}>\frac{2x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ 1<\frac{4(y-1)^2}{x^2+(y-1)^2} \le 3 \wedge 3>\frac{4x^2}{x^2+(y-1)^2} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ x+(y-1)^2<4(y-1)^2 \le 3(x^2+(y-1)^2) \wedge 3(x^2+(y-1)^2)>4x^2 \ge x^2+(y-1)^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+(y-1)^2<4(y-1)^2 \\ 4(y-1)^2 \le 3(x^2+(y-1)^2) \\ 3x^2+3(y-1)^2> 4x^2 \\ 4x^2 \ge x^2+(y-1)^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2<3(y-1)^2 \\ 4(y-1)^2 \le 3x^2+3(y-1)^2 \\ 3(y-1)^2>x^2 \\ 3x^2 \ge (y-1)^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2<3(y-1)^2 \\ 3x^2 \ge (y-1)^2 \end{cases}}\)
i o ile to jest dobrze to nie mam pojęcia jak to narysować
z góry dzięki za odpowiedzi-- 14 paź 2013, o 12:37 --Jest szansa że ktoś odpowie?
