zaznacz zbiór na płaszczyźnie Gaussa

[Shavena]

Mam problem z tym zadaniem, mianowicie mam zaznaczyć na płaszczyźnie Gaussa zbiór liczb zespolonych spełniających warunek:

1. \(\displaystyle{ \mathrm{Re} z \cdot \mathrm{Im} z >0 \wedge \frac{ \pi }{4} \le \arg \left( z-i \right) \le \frac{3 \pi} {4}}\)

2. \(\displaystyle{ \arg \left( z+2-2i \right) = \frac{\pi} {6}}\)

Każda pomoc mile widziana

[ares41]

W którym miejscu pojawia się problem ?
Wiesz co oznaczają użyte symbole ?

[Shavena]

mam problem z argumentami wiem co oznacza \(\displaystyle{ \arg z}\), ale nie wiem jak wyliczyć \(\displaystyle{ \arg \left( z-i \right)}\) i \(\displaystyle{ \arg \left( z+2-2i \right)}\)

i jeszcze jeden przykład z którym mam problem

\(\displaystyle{ \left|\frac{ z ^{2}+1}{i-z} \right| \ge 1}\) ,próbowałam podstawiania, ale wychodzą jakieś dziwne rzeczy.

[ares41]

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \arg \left( z-i \right) \le \frac{3 \pi} {4}}\)

Kąt między wektorem \(\displaystyle{ \stackrel{\longrightarrow}{z-i}}\) a osią \(\displaystyle{ OX}\) ma spełniać zadany warunek.

\(\displaystyle{ \left|\frac{ z ^{2}+1}{i-z} \right| \ge 1}\)

Zastosuj wzór skróconego mnożenia.

[Shavena]

Chodzi o coś takiego?
\(\displaystyle{ \left|\frac{ (z ^{2}+1)(i+z)}{(i-z)(i+z)} \right| \ge 1}\)

Bo potem wyszłoby mi
\(\displaystyle{ \left|\frac{ (z ^{2}+1)(i+z)}{i^2-z^2} \right| \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \left|\frac{ (z ^{2}+1)(i+z)}{-1-z^2} \right| \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \left|\frac{ (z ^{2}+1)(i+z)}{-1(1+z^2)} \right| \ge 1}\) i by mi się ładnie skróciło, pytanie tylko czy mogę tak zrobić?

[ares41]

Możesz skrócić przy odpowiednich założeniach.

Mówiąc o wzorze skróconego mnożenia miałem raczej na myśli rozpisanie \(\displaystyle{ z^2+1=(z-i)(z+i)}\) a następnie , zakładając \(\displaystyle{ z\neq i}\), uproszczenie tego wyrażenia.

[Shavena]

Całkiem zapomniałam o tym wzorze. Dziękuję bardzo -- 14 paź 2013, o 19:07 --To jeszcze mam taki problem: jak narysować \(\displaystyle{ \arg \frac{\overline z}{z}= \pi}\) ?

[ares41]

Wstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i uprość.

[Shavena]

Podstawiłam, ale nadal nie wiem jak to ruszyć.

[Kartezjusz]

Zrób równanie trygonometryczne.

[Shavena]

Wyprowadzić z równanie trygonometryczne z \(\displaystyle{ \overline z}\) i \(\displaystyle{ z}\)? Zrobiłam i nadal coś mi nie wychodzi niestety. Jakby ktoś to rozpisał, to byłabym wdzięczna bardzo, bo chcę to zrozumieć, a jakoś samej ciężko mi idzie.

[Kartezjusz]

można pokazać,że \(\displaystyle{ \arg \overline{z}= - \arg z}\)co wynika z parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa, a \(\displaystyle{ \arg \frac{z_{1}}{z_{2}}=\arg z_{1}- \arg z_{2}}\)co z kolei wynika ze wzorów na sinus i cosinus różnicy.