obliczenie na liczbach zespolonych.

[matinf]

Niech\(\displaystyle{ z_0, z_1, . . . , z_{n-1}}\) to wszystkie zespolone pierwiastki z pierwiastka n-tego stopnia z n. Oblicz \(\displaystyle{ z_0 + z_1 + . . . + z_{n-1}}\).

[Chromosom]

Zastosuj postać wykładniczą liczby zespolonej.

[matinf]

Ok więc skontroluj czy dobrze robię.
każdy z pierwiastków jest liczbą zespoloną, a więc możemy przedstawić ją w postaci wykładniczej.

czyli \(\displaystyle{ z_0 = |z_0| e^{i\alpha}}\)
analogicznie pozostałem.

Ale że to pierwiastek n-tego stopnia z 1 zauważyć możemy, że moduł z liczby zespolonej wynosi 1, a więc nic nie wnosi dla tego "sumowania".
zaś argument takiej liczby wynosi 0.
Stąd
\(\displaystyle{ z_0 = |1| e^{i\cdot 0} = 1}\)
\(\displaystyle{ z_{n-1} = |1| e^{i \cdot 0} =1}\)
cała suma zatem wynosi n.

[Chromosom]

Należało obliczyć pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ n}\), nie z 1. Argument tych liczb nie jest zerowy - jest inny dla każdego pierwiastka.

[bakala12]

Proponuję bardziej algebraiczne podejście. Oczywiście te liczby są wszystkimi pierwiastkami równania:
\(\displaystyle{ x^{n}-n=0}\)
Na mocy wzorów Viete'a mamy natychmiast \(\displaystyle{ z_{0}+z_{1}+z_{2}+...+z_{n-1}=0}\)

[matinf]

Jest tam błąd w treści, chodziło o pierwiastki PIERWIASTKA stopnia n z jeden.
Wtedy jest ok?