obliczenie na liczbach zespolonych.
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
obliczenie na liczbach zespolonych.
Niech\(\displaystyle{ z_0, z_1, . . . , z_{n-1}}\) to wszystkie zespolone pierwiastki z pierwiastka n-tego stopnia z n. Oblicz \(\displaystyle{ z_0 + z_1 + . . . + z_{n-1}}\).
Ostatnio zmieniony 12 paź 2013, o 13:48 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
obliczenie na liczbach zespolonych.
Ok więc skontroluj czy dobrze robię.
każdy z pierwiastków jest liczbą zespoloną, a więc możemy przedstawić ją w postaci wykładniczej.
czyli \(\displaystyle{ z_0 = |z_0| e^{i\alpha}}\)
analogicznie pozostałem.
Ale że to pierwiastek n-tego stopnia z 1 zauważyć możemy, że moduł z liczby zespolonej wynosi 1, a więc nic nie wnosi dla tego "sumowania".
zaś argument takiej liczby wynosi 0.
Stąd
\(\displaystyle{ z_0 = |1| e^{i\cdot 0} = 1}\)
\(\displaystyle{ z_{n-1} = |1| e^{i \cdot 0} =1}\)
cała suma zatem wynosi n.
każdy z pierwiastków jest liczbą zespoloną, a więc możemy przedstawić ją w postaci wykładniczej.
czyli \(\displaystyle{ z_0 = |z_0| e^{i\alpha}}\)
analogicznie pozostałem.
Ale że to pierwiastek n-tego stopnia z 1 zauważyć możemy, że moduł z liczby zespolonej wynosi 1, a więc nic nie wnosi dla tego "sumowania".
zaś argument takiej liczby wynosi 0.
Stąd
\(\displaystyle{ z_0 = |1| e^{i\cdot 0} = 1}\)
\(\displaystyle{ z_{n-1} = |1| e^{i \cdot 0} =1}\)
cała suma zatem wynosi n.
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
obliczenie na liczbach zespolonych.
Należało obliczyć pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ n}\), nie z 1. Argument tych liczb nie jest zerowy - jest inny dla każdego pierwiastka.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
obliczenie na liczbach zespolonych.
Proponuję bardziej algebraiczne podejście. Oczywiście te liczby są wszystkimi pierwiastkami równania:
\(\displaystyle{ x^{n}-n=0}\)
Na mocy wzorów Viete'a mamy natychmiast \(\displaystyle{ z_{0}+z_{1}+z_{2}+...+z_{n-1}=0}\)
\(\displaystyle{ x^{n}-n=0}\)
Na mocy wzorów Viete'a mamy natychmiast \(\displaystyle{ z_{0}+z_{1}+z_{2}+...+z_{n-1}=0}\)