dla jakich naturalnych n liczba zespolona jest rzeczywista

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
matinf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1922
Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 695 razy
Pomógł: 4 razy

dla jakich naturalnych n liczba zespolona jest rzeczywista

Post autor: matinf »

Witam,
Mamy:
\(\displaystyle{ \left( z+iz \right) ^n}\). Dla jakich n naturalnych jest ona rzeczywista.
Wprowadźmy
\(\displaystyle{ w=z+iz}\)
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ w = a+bi + ai - bi^2 = \left( a+b \right) +i \left( a+b \right)}\)
\(\displaystyle{ |w| = \sqrt{2 \left( a+b \right) ^2} = \sqrt{2} \left( a+b \right)}\)
\(\displaystyle{ w = |w| \left( \cos \alpha + i\sin \alpha \right)}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{a+b}{ \left( a+b \right) \sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
wobec tego\(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{4}}\)
więc \(\displaystyle{ w = |w|^n \left( \cos \left( \frac{\pi}{4}\cdot n \right) + i\sin \left( \frac{\pi}{4} \cdot n \right)}\)
Zatem, żeby część urojona była zerem musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{4} \cdot n \right) = k\pi}\)
A stąd \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} \cdot n = k\pi}\)
zatem
\(\displaystyle{ n=4k}\)
Odpowiedź. n może być każdą liczba naturalną podzielną przez 4 (zero uznaję za nienaturalne)

Czy dobrze to jest?
Ostatnio zmieniony 12 paź 2013, o 12:16 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

dla jakich naturalnych n liczba zespolona jest rzeczywista

Post autor: yorgin »

matinf pisze: \(\displaystyle{ w = a+bi + ai - bi^2 = \left( a+b \right) +i \left( a+b \right)}\)
Tu jest źle. Poza tym, weź \(\displaystyle{ z=e^{i\cdot \frac{1}{8}\pi}}\) oraz \(\displaystyle{ n=4}\). Wtedy \(\displaystyle{ (z+iz)^4=-4e^{i\frac{\pi}{2}}=-4i}\)

Liczba jest rzeczywista tylko dla \(\displaystyle{ n=0}\), poza tym zawsze można dobrać \(\displaystyle{ z}\) takie, że jest to liczba czysto urojona. Wynika to łatwo z postaci

\(\displaystyle{ (z+iz)^n=z^n(1+i)^n}\)
matinf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1922
Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 695 razy
Pomógł: 4 razy

dla jakich naturalnych n liczba zespolona jest rzeczywista

Post autor: matinf »

przepraszam pomylilem się bardzo istotnie.
Tam ma być:

\(\displaystyle{ (z+i\overline{z})^n}\)
wtedy tamten zapis się zgadza.
Możes jeszcze raz przejrzeć?

(tam chodzi nie o wektor, tylko o sprzężenie).
Nie wiem jak w tex zrobć kreskęu gory.
Ostatnio zmieniony 12 paź 2013, o 13:59 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Jeśli nie chodzi o wektor, tylko o sprzężenie, proszę to odpowiednio zapisać.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

dla jakich naturalnych n liczba zespolona jest rzeczywista

Post autor: yorgin »

matinf pisze: (tam chodzi nie o wektor, tylko o sprzężenie).
Nie wiem jak w tex zrobć kreskęu gory.

Kod: Zaznacz cały

overline{z}
Resztę przejrzę po obiedzie. Edytuję tę wiadomość i wyślę Ci PW.

Edit - sprawdziłem i wyszedł mi taki sam warunek.
ODPOWIEDZ