wskazówka dla dowodu o wielomianach

[matinf]

Witam,

czy może ktoś podać jakaś wsazówkę, jak udowodnić:
wielomian w ma rzeczywiste współczynniki. Zmienna jest zespolona. Wiemy, że \(\displaystyle{ z_0}\)jest pierwiastkiem.
Pokazać, że sprzężenie \(\displaystyle{ z_0}\) też jest pierwiastkiem.

[szw1710]

Najważniejsze są dwie własności sprzężenia: \(\displaystyle{ \overline{zw}=\overline{z}\overline{w}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}}\). Ponadto jeśli \(\displaystyle{ a\in\RR}\), to \(\displaystyle{ \overline{a}=a}\).

Oznacz \(\displaystyle{ w(z)=a_nz^n+\dots+a_1z+a_0}\). Z założenia masz \(\displaystyle{ w(z_0)=0}\). Ale masz obliczyć \(\displaystyle{ w(\overline{z_0})}\). Wystartuj od tego. Skorzystaj ze wspomnianych własności sprzężenia w połączeniu z założeniem, że \(\displaystyle{ w(z_0)=0}\).

[Chromosom]

Należy udowodnić: \(\displaystyle{ \sum\limits^n_{k=0}a_kz_0^k=0\implies\sum\limits^n_{k=0}a_k\overline{z_0}^k=0}\)

Proponuję skorzystać z postaci trygonometrycznej.

[matinf]

jak zapisać w takim razie postać trygnometryczną dls sprzężenia z?

[Chromosom]

Najpierw zapisz postać wykładniczą, a następnie przejdź z wykładniczej na trygonometryczną.

[matinf]

Słuchaj, chyba zrozumiałem o co Tobie chodzi. Ale nie wychodzi mi to:

\(\displaystyle{ z = |z|(\cos \alpha+i \sin \alpha)\\
\bar{z} = |z|(\cos \alpha+i \sin \alpha)\\
\sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(\cos \alpha+i \sin \alpha))^k \\ = \sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(\cos \alpha))^k + \sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(-i\sin \alpha))^k = 0 \ \Rightarrow \sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(\cos \alpha))^k =
-\sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(i\sin \alpha))^k = \sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(-i\sin \alpha))^k \\
\\
to\ jest\ nasze\ zalozenie,\ teraz\ teza:
\\
\sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(\cos \alpha-i \sin \alpha))^k = \sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(\cos \alpha))^k +\sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(-i\sin \alpha))^k = \sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(\cos \alpha))^k - \sum_{k=0}^{n} a_k\ (|z|(i\sin \alpha))^k \neq 0}\)

[szw1710]

Ja to tak z buta rozkopuję:

\(\displaystyle{ w(\overline{z_0})=\sum_{k=0}^n a_k(\overline{z_0})^k=\sum_{k=0}^n \overline{a_kz_0^k}=
\overline{\sum_{k=0}^na_kz_0^k}=\overline{w(z_0)}=\overline{0}=0}\)
co należało wykazać.

[matinf]

Skąd taka pewność?
\(\displaystyle{ \overline{w(z_0)}=\overline{0}}\)

[szw1710]

A co założyliśmy o \(\displaystyle{ z_0}\)?

[matinf]

że jest pierwiastkiem, nie o to chciałem zapytać.
Czyli głównie korzystasz z tego, że sprzężenie liczby rzeczywistej a jest równe a.
Brawo za pomysł!

[szw1710]

To prosta rzecz, nie ma czego gratulować. Standard. Ale korzystam też z tego co napisałem w pierwszym poście: sprzężenie sumy (iloczynu) jest odpowiednio sumą (iloczynem) sprzężeń.