rozłożyć na czynniki zespolone i rzeczywiste

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
matinf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1922
Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 695 razy
Pomógł: 4 razy

rozłożyć na czynniki zespolone i rzeczywiste

Post autor: matinf »

witam, za zadanie mam rozłożyć na czynniki
1) rzeczywiste
2) zespolone
\(\displaystyle{ z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0}\)
lukequaint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 219
Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 75 razy

rozłożyć na czynniki zespolone i rzeczywiste

Post autor: lukequaint »

A spróbowałeś chociaż je zrobić? Zauważ, że:
\(\displaystyle{ z^{5}+z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = z^{4}(z+1) + z^{2}(z+1) + (z + 1) = (z+1)(z^{4}+z^{2}+1)}\)
I dalej:
\(\displaystyle{ z^{4}+z^2+1 = (z^{2})^{2} + 2z^{2} + 1 - z^{2} = (z^{2} + 1)^2 - z^{2}}\).
Resztę pozostawiam Tobie.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

rozłożyć na czynniki zespolone i rzeczywiste

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0\\
\frac{z^6-1}{z-1}=0}\)


\(\displaystyle{ z^6-1=0}\)

ze wzoru de Moivre
matinf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1922
Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 695 razy
Pomógł: 4 razy

rozłożyć na czynniki zespolone i rzeczywiste

Post autor: matinf »

W takim razie pokażę jak robię, a Wy powiedźcie co jest źle (wolfram inne daje wyniki).
\(\displaystyle{ (z^{2} + 1)^2 - z^{2} = (z^2-z+1)(z^2+z+1)}\)

z pierwszego wychodzą:

\(\displaystyle{ z_1= \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\)

z drugiego:

\(\displaystyle{ z_1= \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_2 = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\)
lukequaint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 219
Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 75 razy

rozłożyć na czynniki zespolone i rzeczywiste

Post autor: lukequaint »

Źle rozkładasz wyrażenie w pierwszym nawiasie. W obu przypadkach \(\displaystyle{ \Delta = -3}\), \(\displaystyle{ \Delta = 5}\) ma równanie \(\displaystyle{ x^2 \pm x - 1 = 0}\). Musiałeś źle spojrzeć.
matinf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1922
Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 695 razy
Pomógł: 4 razy

rozłożyć na czynniki zespolone i rzeczywiste

Post autor: matinf »

Jasne, że źle spojrzałem. Ale słuchaj, tak poza tym jest ok ?
Na czym polega zapisanie odpowiedzi ? a) rzeczywiste b) zespolone (w sensie iloczyn czynników)
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

rozłożyć na czynniki zespolone i rzeczywiste

Post autor: Mariusz M »

Rozkład na czynniki rzeczywiste rozkładasz na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne
(z ujemnym wyróżnikiem)
Rozkład na czynniki zespolone, rozkładasz na czynniki liniowe postaci \(\displaystyle{ z-z_{k}}\)
lukequaint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 219
Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 75 razy

rozłożyć na czynniki zespolone i rzeczywiste

Post autor: lukequaint »

Tak, poza tym jest w porządku. Należy przedstawić podany wielomian jako iloczyn wielomianów:
a) stopnia 1 i 2 o współczynnikach rzeczywistych
\(\displaystyle{ z^{5}+z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = (z+1)(z^{2} + z + 1)(z^{2} - z + 1)}\)
b) stopnia 1 o współczynnikach zespolonych (bo każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) zespolonych pierwiastków
\(\displaystyle{ z^{5}+z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1\\= (z+1)(z - \frac{1-i\sqrt{3}}{2})(z - \frac{1+i\sqrt{3}}{2})(z - \frac{-1-i\sqrt{3}}{2})(z - \frac{-1+i\sqrt{3}}{2})}\)
ODPOWIEDZ