Rozkład na ułamki proste.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: Rozłóż na ułamki proste funkcję wymierną:
\(\displaystyle{ f(z) = \frac{z^3+2z^2-z+2}{z^4-1}}\) o współczynnikach rzeczywistych i zespolonych.

Otóż zacząłem tak:
\(\displaystyle{ \frac{A}{z-1}+ \frac{B}{z+1}+ \frac{C}{z-i}+ \frac{D}{z+i} = \frac{z^3+2z^2-z+2}{(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)}}\)

Po wymnożeniu i pogrupowaniu współczynników otrzymałem taki układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} A+B+C+D=1\\A-B+Ci-Di=2\\A+B-C-D=-1 \\ A-B-Ci+Di=2 \end{array}}\)

Otóż jakbym nie liczył to C i D mi się zeruje. Robię gdzieś błąd? Jak to ruszyć żeby było dobrze? Proszę uprzejmie o wskazówki i pozdrawiam.-- 11 paź 2013, o 20:15 --Spróbowałem inaczej. Od miejsca:
\(\displaystyle{ A(z+1)(z-i)(z+i)+B(z-1)(z-i)(z+i)+C(z-1)(z+1)(z+i)+D(z-1)(z+1)(z-i)=z^3+2z^2-z+2}\)

Wstawiałem po kolei miejsca zerowe kolejnych nawiasów i otrzymałem, że:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} A=1\\B=-1\\C= \frac{1}{2} \\ D = \frac{1}{2} \end{array}}\)
Czy mogę prosić o ewentualne potwierdzenie?

[szw1710]

Sam sobie potwierdź wstawiając te liczby do postaci rozkładu i sprowadzając do wspólnego mianownika.

[dawid.barracuda]

Zgadza się. Wynik poprawny.