obliczenie wyrazenia - wzór de Moivre'a

[ziomalok19]

Mam przykład:
\(\displaystyle{ \left( 1+i \sqrt{3} \right) ^{7}}\)
a więc wyznaczam \(\displaystyle{ \left| z\right| = 2}\)
teraz cos i sin: \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2}, \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3}}{2}}\)
i obliczam:

\(\displaystyle{ \left( 1+i \sqrt{3} \right) ^{7} = 2^{7} \left( \cos 7 \cdot \frac{ \pi }{3} + i \cdot \sin 7 \cdot \frac{ \pi }{3} \right) = 128 \left( \cos \left( 2 \pi + \frac{1}{3} \pi \right) + i \cdot \sin \left( 2 \pi + \frac{1}{3} \pi \right) \right) = 128 \left( \cos \frac{1}{3} \pi \right) + i \cdot \sin \frac{1}{3} \pi \right) =128 \left( \frac{1}{2} + i \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) =64+64 \sqrt{3} \cdot i}\)

Czy to jest poprawnie? i czy musze to tak rozpisywac ?

[Kacperdev]

No tak, wszystko ładnie rozwiązałeś.

Wystarczy wiedzieć jeszcze, że \(\displaystyle{ \cos\left( 2\pi+\alpha\right)=\cos\left( \alpha\right)}\) to samo dla sinusa. (to są ich okresy).

[ziomalok19]

a no tak, dzieki. Teraz sobie coś przypominam że to 2 \(\displaystyle{ \pi}\) to pełny obieg. Czy jak bede miał parzyste to bedzie to rowne 0, tak ?
Edit:
Mam jeszcze inny przykład:
\(\displaystyle{ \left( 1+i \right) ^{27}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}, \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2}}{2}}\) wiec \(\displaystyle{ \alpha0= \frac{ \pi }{3}}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+i \right) ^{27} = \sqrt{2} \cdot \left( 2^{ \frac{1}{2} } \right) ^{26} \cdot \left( \cos 9 \pi + i \cdot \sin 9 \pi \right) =8192 \sqrt{2} \cdot \left( \cos \pi + i \cdot \sin \pi \right) = ?}\)
Czy to jest poprawne? i co dalej?

-- 12 paź 2013, o 13:51 --

ktoś sprawdzi? Chciałbym zacząć robić kilka przykładów ale nie wiem czy to zrobiłem dobrze.-- 12 paź 2013, o 21:58 --\(\displaystyle{ \left( 1+i \right) ^{27}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}, \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \left( 1+i \right) ^{27} = \sqrt{2} \cdot \left( 2^{ \frac{1}{2} } \right) ^{26} \cdot \left( \cos 9 \pi + i \cdot \sin 9 \pi \right) =8192 \sqrt{2} \cdot \left( \cos \pi + i \cdot \sin \pi \right) = 8192 \sqrt{2} \cdot \left( \cos \left(\pi+0\right) + i \cdot \sin \left(\pi+0\right) \right)= 8192 \sqrt{2} \cdot \left( - \cos 0 - i \cdot \sin 0\right)=8192 \sqrt{2} \cdot \left( -1 \cdot i \cdot 0 \right)= -8192 \sqrt{2}}\)

Moze mi ktoś powiedziec gdzie jest błąd?

[szukampomocy90]

Też potrzebuje wiedzieć jak się rozwiązuje takie zadania. Gdyby ktoś mógł ocenic czy to jest poprawne...

[ziomalok19]

Na prawdę proszę o sprawdzenie, zadanie mam juz na jutro!

[miodzio1988]

kąt jest do bani

[ziomalok19]

Faktycznie, dzięki, zamiast \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) powinno być \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\).