niezrozumiałe obliczenie w książce

[matinf]

Witam,
mamy taką równość, która nie wiem skąd się bierze:


\(\displaystyle{ \frac{\cos (60) + i\sin (60)}{\cos 315 + i\sin 315} = \cos (60-315) + i\sin (60-315)}\)

[szw1710]

Przy dzieleniu liczb zespolonych moduły się dzielą, a argumenty odejmują.

[matinf]

Moduły, tzn ?
Ale tutaj to jakby do siebie spasowało pięknie - zauważ, że cosinus się "odjął" z cosinusem, a sinus z sinuesem.

[szw1710]

Tak ma być. Mamy takie twierdzenie: jeśli \(\displaystyle{ z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha}\), a \(\displaystyle{ w=|w|(\cos\beta+i\sin\beta)\ne 0}\), to

\(\displaystyle{ zw=|z|\cdot|w|\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr)}\)

oraz

\(\displaystyle{ \frac{z}{w}=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\bigr)}\).

Sprawdzenie jet bardzo proste i polega na pomnożeniu nawiasów i zastosowaniu wzorów na sinus/cosinus sumy/różnicy.

Teraz porównaj to co piszesz z tym, co ja napisałem.