Mam problem z rozwiązaniem tych równań :
\(\displaystyle{ \overline{z}=(2-i)z}\)
\(\displaystyle{ (1+3i)z+ (2-5i)\overline{z}=2i-z}\)
Rownania na liczbach zespolonych
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Rownania na liczbach zespolonych
Pierwsze ma rozwiązanie tylko \(\displaystyle{ z=0}\), co widać dzieląc przez \(\displaystyle{ z\neq 0}\) i podstawiając \(\displaystyle{ z=re^{it}}\)
Drugie nie widzę inaczej, jak podstawić \(\displaystyle{ z=a+ib}\), wymnożyć i porównać części rzeczywiste oraz urojone.
Drugie nie widzę inaczej, jak podstawić \(\displaystyle{ z=a+ib}\), wymnożyć i porównać części rzeczywiste oraz urojone.
-
Samlor
- Użytkownik
- Posty: 203
- Rejestracja: 27 kwie 2013, o 20:35
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 1 raz
Rownania na liczbach zespolonych
\(\displaystyle{ \overline{z}=(2-i)z}\)
\(\displaystyle{ z=a+ib}\)
\(\displaystyle{ a-ib=(2-i)(a+ib}\))
\(\displaystyle{ P=2a+b+i(2b-a)}\)
\(\displaystyle{ a-ib=2a+b+i(2b-a) \Leftrightarrow a=2a+b \wedge -b=2b-a}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-a \\ b=3a\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (1+3i)z+ (2-5i)\overline{z}=2i-z}\)
\(\displaystyle{ (1+3i)(a+ib)+(2-5i)(a-ib)=2i-(a+ib)}\)
\(\displaystyle{ 4a-3b-5b-2ai-2i=0 \Leftrightarrow 4a-b+i(-2a-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} 4a-b=0 \\ -2a-2=0 \end{cases} \Rightarrow a=-1 \wedge b=-4}\)
Czy tak ?
\(\displaystyle{ z=a+ib}\)
\(\displaystyle{ a-ib=(2-i)(a+ib}\))
\(\displaystyle{ P=2a+b+i(2b-a)}\)
\(\displaystyle{ a-ib=2a+b+i(2b-a) \Leftrightarrow a=2a+b \wedge -b=2b-a}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-a \\ b=3a\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (1+3i)z+ (2-5i)\overline{z}=2i-z}\)
\(\displaystyle{ (1+3i)(a+ib)+(2-5i)(a-ib)=2i-(a+ib)}\)
\(\displaystyle{ 4a-3b-5b-2ai-2i=0 \Leftrightarrow 4a-b+i(-2a-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} 4a-b=0 \\ -2a-2=0 \end{cases} \Rightarrow a=-1 \wedge b=-4}\)
Czy tak ?
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Rownania na liczbach zespolonych
\(\displaystyle{ -3a-5b=-8b}\). Nie wiem, dlaczego masz \(\displaystyle{ -b}\).Samlor pisze: \(\displaystyle{ 4a-3b-5b-2ai-2i=0 \Leftrightarrow 4a-b+i(-2a-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} 4a-b=0 \\ -2a-2=0 \end{cases} \Rightarrow a=-1 \wedge b=-4}\)
-
Samlor
- Użytkownik
- Posty: 203
- Rejestracja: 27 kwie 2013, o 20:35
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 1 raz
Rownania na liczbach zespolonych
ano tak, mój błąd
Mam jeszcze jedno trudniejsze trochę.
\(\displaystyle{ z ^{3} =1}\)
\(\displaystyle{ z ^{3}=(a+ib) ^{3}=a ^{3}+3a ^{2}ib+3ai ^{2}b ^{2}+i ^{3}b ^{3}=a ^{3}-3ab ^{2}+3a ^{2}ib+i ^{3}b ^{3}}\)
Jak ugryźć to wyrażenie \(\displaystyle{ i ^{3}}\) ?
\(\displaystyle{ i ^{3}= -i}\) ?
\(\displaystyle{ i ^{3}=i \cdot i ^{2} = -i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a ^{3}-3ab ^{2}=1 \\ 3a ^{2}b-b ^{3}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=0\\ a=1 \end{cases} \vee \begin{cases} a= \sqrt[3]{- \frac{1}{2} } \\\left| b\right|= \sqrt{3} \sqrt[3]{- \frac{1}{2} } \end{cases}}\)
Mam jeszcze jedno trudniejsze trochę.
\(\displaystyle{ z ^{3} =1}\)
\(\displaystyle{ z ^{3}=(a+ib) ^{3}=a ^{3}+3a ^{2}ib+3ai ^{2}b ^{2}+i ^{3}b ^{3}=a ^{3}-3ab ^{2}+3a ^{2}ib+i ^{3}b ^{3}}\)
Jak ugryźć to wyrażenie \(\displaystyle{ i ^{3}}\) ?
\(\displaystyle{ i ^{3}= -i}\) ?
\(\displaystyle{ i ^{3}=i \cdot i ^{2} = -i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a ^{3}-3ab ^{2}=1 \\ 3a ^{2}b-b ^{3}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=0\\ a=1 \end{cases} \vee \begin{cases} a= \sqrt[3]{- \frac{1}{2} } \\\left| b\right|= \sqrt{3} \sqrt[3]{- \frac{1}{2} } \end{cases}}\)
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Rownania na liczbach zespolonych
Równania typu \(\displaystyle{ w^n=z}\) rozwiązuje się dwojako:
- dla niskich stopni, powiedzmy do \(\displaystyle{ n=4}\), można zrobić rozkład na czynniki,
- dla dowolnych stopni, skorzystać ze wzoru de Moivre'a dla pierwiastkowania:
\(\displaystyle{ w=z^{\frac{1}{n}}=(|z|(\cos x+i\sin x))^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right),\\ k\in\{0,\ldots, n-1\}}\)
- dla niskich stopni, powiedzmy do \(\displaystyle{ n=4}\), można zrobić rozkład na czynniki,
- dla dowolnych stopni, skorzystać ze wzoru de Moivre'a dla pierwiastkowania:
\(\displaystyle{ w=z^{\frac{1}{n}}=(|z|(\cos x+i\sin x))^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right),\\ k\in\{0,\ldots, n-1\}}\)