wyznaczanie pierwiastków

janek1954 · Post autor: **janek1954** » 9 paź 2013, o 23:20

mam zadanie
" odgadnąć jeden z pierwiastków \(\displaystyle{ \sqrt[4]{\left( 2-2i\right) ^{12} }}\) a następnie podać pozostałe pierwiastki"
Proszę o pomoc jak sie do tego zabrać. Z góry dziękuję.

by_the_way · Post autor: **by_the_way** » 9 paź 2013, o 23:31

Na początek może podnieś wyrażenie w nawiasie tylko do kwadratu, a później rozpraw się ze wszelkimi pozostałymi potęgami.

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 9 paź 2013, o 23:35

by_the_way pisze:Na początek może podnieś wyrażenie w nawiasie tylko do kwadratu, a później rozpraw się ze wszelkimi pozostałymi potęgami.

Nie łatwiej byłoby zapisać to w postaci
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{\left( 2-2i\right) ^{12} }=( 2-2i)^{ \frac{12}{4} }=( 2-2i)^{3}}\)
i zastosować wzór skróconego mnożenia?

by_the_way · Post autor: **by_the_way** » 9 paź 2013, o 23:47

Co kto lubi. Podniesienie do kwadratu daje Ci:
\(\displaystyle{ ((2-2i)^2)^{\frac{6}{4}}}\)
\(\displaystyle{ (4-8i-4)^{\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle{ (8i)^{\frac{3}{2}}}\)

janek1954 · Post autor: **janek1954** » 10 paź 2013, o 00:15

\(\displaystyle{ \left( 2-2i\right) ^{2}}\)
to chyba powinno być \(\displaystyle{ (4-8i-4)}\)

by_the_way · Post autor: **by_the_way** » 10 paź 2013, o 01:03

janek1954 pisze:\(\displaystyle{ \left( 2-2i\right) ^{2}}\)
to chyba powinno być \(\displaystyle{ (4-8i-4)}\)

oczywiście masz rację, tam powinno być 8, nie 4

Poprawione.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 10 paź 2013, o 08:16

\(\displaystyle{ (2+2i)^{3}=2^{3}+(1-i)^{3}}\)Dla ostatniej części zastosować wzór De Miovre'a. Postać przyjemna do zamienienia na trygonometryczną