Pierwiastki równania.

[wurjasz]

Witam!
Proszę o jakąś wskazówkę ew. błąd .

\(\displaystyle{ x^{6}-1=0}\)

Rozpisałem sobie to tak:
\(\displaystyle{ (x^{3}-1)(x^{3}+1)}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x^{2}+x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)=0}\)

Z tego:
\(\displaystyle{ x=1\vee x^{2}+x+1=0\vee x=-1\vee x^{2}-x+1=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+x+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=\sqrt{-3}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{-3}=\sqrt{-3+0i}=a+bi \ ()^{2}}\)
Po zgrupowaniu wyrazów wychodzi:
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}=-3, a=0, b=\sqrt{3}, b=-\sqrt{3}}\)

Ogólnie nie zgadzają mi się te liczby z równania kwadratowego.

[piasek101]

Z delty wystarczy jeden pierwiastek.

\(\displaystyle{ \sqrt{-1}\cdot\sqrt 3}\)

[wurjasz]

Hm? Ogólnie w odpowiedziach jest ich razem 6. skoro z delty wychodzi jeden pierwiastek to podliczając je wszystkie będzie ich 4 (czy coś źle zrozumiałem)?

[piasek101]

Ale potem liczysz dwa pierwiastki (rozwiązania) z jednego pierwiastka z delty.

[wurjasz]

\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-1-\sqrt{3}\cdot i}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-1+\sqrt{3}\cdot i}{2}}\)

itd..

[yorgin]

Witam!
Proszę o jakąś wskazówkę ew. błąd .

\(\displaystyle{ x^{6}-1=0}\)

To równanie ma tylko dwa rzeczywiste pierwiastki, pozostałe cztery są zespolone.

Skoro to zadanie wylądowało w dziale liczb zespolonych, to raczej powinno się je potraktować jako szukanie pierwiastków stopnia szóstego z jedynki. A więc klasyczny wzór na pierwiastkowanie liczb zespolonych.

[wurjasz]

Ok, to:
\(\displaystyle{ \sqrt[6]{1}= \sqrt[6]{1+0 \cdot i}}\)
\(\displaystyle{ r=1, \cos \theta=1, \sin \theta=0, \theta=0^{\circ}=2k \pi}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[6]{1}=\sqrt[6]{r \left( \cos \theta+i\sin \theta \right) }=\rho \left( \cos \alpha+i\sin \alpha \right) \ \left( \right) ^{6}}\)
\(\displaystyle{ r \left( \cos \left( 2k\pi \right) +i\sin \left( 2k\pi \right) \right) = \rho^{6} \left( \cos 6\alpha+i\sin 6\alpha \right)}\)
\(\displaystyle{ \rho^{6}=1, \rho=1, 2k\pi=6\alpha, \alpha= \frac{k\pi}{3}}\)

Dla \(\displaystyle{ k=0}\) \(\displaystyle{ x_{1}= 1 \left( \cos 0^{\circ}+i\sin 0^{\circ} \right) =1}\)
Dla \(\displaystyle{ k=1}\) \(\displaystyle{ x_{2}= \left( \cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1+\sqrt{3}\cdot i}{2}}\)
Potem dla \(\displaystyle{ k=2,3,4...}\)
Jest okej?

[cosinus90]

Tak.