Krótkie równanie z niewiadomą z

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 8 paź 2013, o 21:44

Krótkie i z pozoru proste równanie z liczbą \(\displaystyle{ z}\), ale nie wiem jak je ugryźć:
\(\displaystyle{ z ^{2}=-1}\)

Jeśli rozpisuję to tak, że \(\displaystyle{ z=x+iy}\), to dochodzę do postaci \(\displaystyle{ (x-y)(x+y)=-1}\) i nie wiem co dalej. Myślałem też o rozwiązaniu zapisanym jako:
\(\displaystyle{ i^{2}=-1 \wedge z^{2}=-1 \Rightarrow z=i}\)

ale nie wiem czy można to ująć w ten sposób.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 paź 2013, o 22:03

Jest dwa rozwiązania tego równania.

Co podniesione do drugiej (oprócz \(\displaystyle{ i}\) - bo masz) też da \(\displaystyle{ -1}\) ?

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 8 paź 2013, o 22:22

\(\displaystyle{ (-i)^{2}=-1 \Rightarrow z=-i}\) jako drugie rozwiązanie?

Czy da się to rozwiązać podstawiając postać algebraiczną liczby zespolonej, tak jak zrobiłem to w pierwszej części pierwszego postu czy tylko w taki (powyższy) sposób?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 paź 2013, o 22:24

No pewnie, że się da - ale tak masz od razu.

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 8 paź 2013, o 22:34

Dzięki za pomoc.

A jak to zrobić z postacią algebraiczną? Bo nie wiem co zrobić dalej z \(\displaystyle{ (x-y)(x+y)=-1}\).

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 8 paź 2013, o 22:53

Nie wiem skąd wziąłeś tę postać. Prawdopodobnie źle zastosowałeś wzór skróconego mnożenia podnosząc do potęgi postać algebraiczną liczby zespolonej, ale przedstaw swoje rachunki.

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 8 paź 2013, o 23:21

Fakt, teraz widzę głupi błąd - źle zastosowałem wzór skróconego mnożenia... Poniżej już poprawnie (mam nadzieję):

\(\displaystyle{ \begin{cases}z ^{2}=-1\\z=x+iy\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (x+iy)^{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+2xyi+y^{2}i^{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+2xyi-y^{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-y^{2}=-1\\2xy=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=0 \vee y=0}\)
dla \(\displaystyle{ y=0}\):
\(\displaystyle{ x^{2}=-1 \Rightarrow}\) brak rozwiązania, ponieważ \(\displaystyle{ x \in \RR}\)

dla \(\displaystyle{ x=0}\):
\(\displaystyle{ -y^{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ y=1 \vee y=-1}\)

Po podstawieniu do \(\displaystyle{ z=x+iy}\):
\(\displaystyle{ z=i \vee z=-i}\)

Czy wszystko się zgadza?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 8 paź 2013, o 23:22

Tak, wszystko się zgadza.

Jonarz · Post autor: **Jonarz** » 8 paź 2013, o 23:25

Dziękuję bardzo za pomoc