rownanie zespolone

[pro_zealot]

rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie.

\(\displaystyle{ x^4+6ix^3-9x^2+4ix-12=0}\)



w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ z_1=-2i ,z_2=i , z_3=-3i;}\)

[Mariusz M]

Chcesz pewnie wiedziec jak otrzymali te pierwiastki ?

Równania czwartego stopnia były już na forum
Wystarczyło użyć opcji szukaj
243327.htm
275801.htm
227371.htm
316940.htm

Ogólnie pomysły są takie
1. Przedstawmy wielomian w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych
2. Przedstawmy pierwiastki wielomianu w postaci sumy trzech z sześciu pierwiastków
równania szóstego stopnia sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia

Jeżeli zapiszesz rozkład w ten sposób

\(\displaystyle{ \left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right) = x^4+6ix^3-9x^2+4ix-12}\)

to aby otrzymac równanie trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ y^2}\)
to po sprowadzeniu układu równań do równania szóstego stopnia podstaw \(\displaystyle{ p=3i+y}\)

Możesz też swój wielomian porównac z różnicą kwadratów

\(\displaystyle{ \left( x^2+ax+b\right)^2-p\left( x-c\right)^2= x^4+6ix^3-9x^2+4ix-12}\)

Rozwiązując układ równań (chociażby metodą podstawiania) dostaniesz równanie które już jest
trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ p^2}\)

[yorgin]

Równania czwartego stopnia były już na forum
Wystarczyło użyć opcji szukaj
243327.htm
275801.htm
227371.htm
316940.htm

Ogólnie pomysły są takie
1. Przedstawmy wielomian w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych
2. Przedstawmy pierwiastki wielomianu w postaci sumy trzech z sześciu pierwiastków
równania szóstego stopnia sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia

Z armaty do wróbli... Wystarczy pogrupować.

w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ z_1=-2i ,z_2=i , z_3=-3i;}\)

Odpowiedzi są błędne.

[pro_zealot]

odpowiedzi są poprawne nawet wolfram matemathica potwierdził.
interesuje mnie pierwsze 3 kroki. pierwszy to
\(\displaystyle{ x^4 + i(6x^3+4x) - 9x^2 -12=0 , ale co dalej?}\)

[yorgin]

odpowiedzi są poprawne nawet wolfram matemathica potwierdził.

W takim razie mamy kontrprzykład na zasadnicze twierdzenie algebry...

Jak również widzę, że bezmyślnie kopiujesz wolframa nie wiedząc, co dalej z tym zrobić.

Wyłącz sobie z pierwszych trzech składników \(\displaystyle{ x^2}\) i poszukaj w nawiasie kwadratu pewnego wyrażenia.

[Mariusz M]

Z armaty do wróbli... Wystarczy pogrupować.

Czy ja wiem czy z armaty ?
Poza tym jeśli pozna sposób to nie będzie miał problemu z żadnym równaniem do czwartego stopnia włącznie

Z pierwiastkami jest coś nie tak chociażby dlatego że powinny byc cztery




\(\displaystyle{ \left(x^2+px+q \right)\left( x^2+rx+s\right) x^4+6ix^3-9x^2+4ix-12\\
x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs=x^4+6ix^3-9x^2+4ix-12\\
x^4+\left( p+r\right)x^3+\left( q+s+pr\right)x^2+\left( rq+ps\right)x+qs=x^4+6ix^3-9x^2+4ix-12\\
\begin{cases} p+r=6i \\ q+s+pr=-9\\rq+ps=4i\\qs=-12 \end{cases} \\
\begin{cases} r=6i-p\\ q+s=-9-p\left( 6i-p\right) \\\left( 6i-p\right)q+ps=4i\\qs=-12 \end{cases} \\
\begin{cases} r=6i-p \\ q=-9-6ip+p^2-s\\\left( 2p-6i\right)s=p^3-12ip^2 -45p+58i\\ qs=-12\end{cases} \\
\begin{cases} r=6i-p \\ q= \frac{p^3-6ip^2-9p-4i}{2p-6i}\\s= \frac{p^3-12ip^2-45p+58i}{2p-6i}\\
\left(p^3-6ip^2-9p-4i \right)\left(p^3-12ip^2-45p+58i \right)+12\left(2p-6i \right)^2=0 \end{cases} \\
p^6-18ip^5-126p^4+432ip^3+753p^2-630ip-200=0\\
p=3i+y\\
y^6+9y^4+24y^2+16=0\\
y=i\\
p=4i\\
\left( x^2+4ix-4\right)\left( x^2+2ix+3\right)=0\\}\)

[pro_zealot]

\(\displaystyle{ x^2(x+3i)^2+4ix-12=0}\)

[Mariusz M]

Podstawienie \(\displaystyle{ x=iy}\)
sprowadzi równanie do równania o współczynnikach całkowitych i można będzie z Bezouta skorzystac
(ale i tak uważam że sposoby zaproponowane wcześniej są lepsze)

[yorgin]

Z pierwiastkami jest coś nie tak chociażby dlatego że powinny byc cztery

Dlatego też nie podobało mi się, że są tylko trzy. Ale być może jakiś jest dwukrotny...

\(\displaystyle{ x^2(x+3i)^2+4ix-12=0}\)

Z dwóch ostatnich składników wyciągnij \(\displaystyle{ 4i}\).