Liczby zespolone - wiele zadań.

[cathy123]

Witam!

Po pierwszych ćwiczeniach z matematyki na mojej uczelni, otrzymaliśmy zestaw zadań, które "powinniśmy umieć rozwiązać" na następne zajęcia. Jednakże mój pan profesor nie ma w zwyczaju "tłumaczenia". Po prostu.. wymaga. Tak więc nauczyć się musimy sami.

Zadań jest sporo, zdaję sobie sprawę, że nikomu nie będzie się chciało robić ich wszystkich, lecz prosiłabym o zrobienie choć po 1 przykładzie z każdego zadania. Najlepiej z wytłumaczeniem "dlaczego tak".

1. Obliczyć sumę, iloczyn, iloraz liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ a) \left( 3,1 \right) i \left( 4,-2 \right) ;}\)
b) \(\displaystyle{ \left( 0,-2 \right) i \left( 5,1 \right) .}\)

/ To zadanie akurat zrobiłam - \(\displaystyle{ a \right) suma= \left( 7,-1 \right) ; iloczyn= \left( 14,-2 \right) ; iloraz= \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ b) suma= \left( 5,1 \right) ; iloczyn= \left( 2,-10 \right) ; iloraz: \left( \frac{-1}{13} , \frac{-11}{26} \right)}\)

2. Wykonać działania:
\(\displaystyle{ a) \frac{1+i}{1-i}}\)
\(\displaystyle{ b) \frac{2i}{1+i}}\)
\(\displaystyle{ c) \frac{4-i}{3+2i}}\)
\(\displaystyle{ d) \frac{1}{2-i}}\)
\(\displaystyle{ /\ a \right) -1 b \right) -4 c \right) -1,5 d \right) \frac{1}{2}}\)

3. Obliczyc \(\displaystyle{ Re z^{2} , Im z^{2}, Re \left( z+\overline{z} \right)}\), gdy:
\(\displaystyle{ a \right) z= 2+3i}\)
\(\displaystyle{ b \right) z= 1-2i}\)
\(\displaystyle{ /\ a \right) Re z^{2} = 4 ; Im z^{2}=9, Re \left( z+\overline{z} \right) ;}\)
\(\displaystyle{ b \right) Re z^{2} = 1 ; Im z^{2}=4, Re \left( z+\overline{z} \right) ;}\)

*Nie znalazłam stosownej komendy LaTeXa.
[Zajrzyj tutaj:] https://www.matematyka.pl/latex.htm#8 [yorgin]

4. Znaleźć miejsce geometryczne punktów:
a) moduł równa się \(\displaystyle{ 3}\);
b) argument równa się \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)
c) \(\displaystyle{ \left| z\right| < 4}\);
d) \(\displaystyle{ \left| z\right| \le 5}\);
e) \(\displaystyle{ \left| z-3+4i\right| < 2}\)
/ Wiem tylko jak zrobić podpunkt a - pitagorasem. Rozwiązania reszty niestety nie widzę.

5. Niech "z" oznacza kolejno liczby \(\displaystyle{ i, i+1, i-1, 2+3i.}\) Zaznaczyć na płaszczyźnie liczby z, liczba sprzężona liczby z*.

6. Zaznaczyć na płaszczyźnie punkty:
a) \(\displaystyle{ 4 \left( \cos \frac{ \pi }{4} + \sin \frac{ \pi }{4} \right)}\)
b) \(\displaystyle{ 2 \left( \cos \frac{ \pi }{2} + \sin \frac{ \pi }{2} \right)}\)
c) \(\displaystyle{ \cos \pi +i\sin \pi \right)}\)
d) \(\displaystyle{ 3 \left( \cos \frac{7 \pi }{6} +i\sin \frac{7 \pi }{6} \right)}\)

7. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby:
\(\displaystyle{ a \right) \sqrt{3} + i}\)
\(\displaystyle{ b \right) 2i}\)
\(\displaystyle{ c \right) -5}\)

8. Obliczyć:
\(\displaystyle{ a) i^{3}, \Rightarrow = -i}\)
\(\displaystyle{ b) i^{4}, \Rightarrow = 1}\)
\(\displaystyle{ c) \left( -3+3i \right) ^{5},}\)
\(\displaystyle{ d) \left( 1+i \right) ^{10},}\)
\(\displaystyle{ e) \sqrt[4]{-i},}\)
\(\displaystyle{ f) \sqrt[3]{ \left( i-1 \right) ^{4} },}\)
\(\displaystyle{ g) e^{i \frac{ \pi }{2} },}\)
\(\displaystyle{ h) e^{i \pi },}\)
\(\displaystyle{ i) e ^{i \frac{3 \pi }{4} },}\)

9. Wyrazić przez \(\displaystyle{ sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\):
a) \(\displaystyle{ \cos 2x}\)
b) \(\displaystyle{ \sin 3x}\)
c) \(\displaystyle{ \cos 5x}\)

10. Wyrazić, że:
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{e ^{ix} + e ^{-ix} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{e ^{ix} - e ^{-ix} }{2i}}\)

11.

Znaleźć wszystkie pierwiastki równań:
\(\displaystyle{ a) x ^{4} + 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ b) x ^{6} + 64 = 0}\)
\(\displaystyle{ c) x ^{4} - i = 0}\)
\(\displaystyle{ d) x ^{5} - 1024 = 0}\)
\(\displaystyle{ e) x ^{3} - 3x - 18 = 0}\)


Z góry dziękuję i pozdrawiam,
Cathy.

[Powermac5500]

Żartujesz, prawda?

Gdybyś włożyła tyle czasu i wysiłku w przeczytanie dowolnego podręcznika ile włożyłaś we wklepanie swojego postu, to już byś wszystko potrafiła sama zrobić. Oczekujesz, że ktoś poświęci czas i przeklepie tutaj taki podręcznik?

ps1. Szkoła się skończyła, a studia polegają na samodzielnym studiowaniu tego, czego potem wymagają na zaliczeniach.

ps2. By krytyka była choć częściowo konstruktywna napiszę, że tak na oko coś nie podoba mi się już rozwiązanie zadania 2.
W jaki sposób dzielimy dwie liczby zespolone podane w postaci algebraicznej?
Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez sprzężenie mianownika. Dlaczego? By pozbyć się z mianownika części urojonej. Zaś samo mnożenie jest dokładnie takim samym działaniem jak mnożenie wielomianów. Należy tylko pamiętać, że \(\displaystyle{ i^{2} = -1}\).
Spróbuj jeszcze raz.

[Ser Cubus]

łaskawy ten Twój profesor ...


tak swoją drogą, nawet na takiej wikipedii masz napisane jak to wszytko zrobić: