Znaleźć liczby rzeczywiste x,y spełnijące równanie.

[Joker1309]

Witam,

w zadaniu chodzi o to żeby znaleźć takich liczb rzeczywistych x,y żeby spełnione było równanie:


\(\displaystyle{ \frac{x+yi}{x-yi} = \frac{9-2i}{9+2i}}\)

rozwiązałem to w ten sposób:

mnożenie "na krzyż" :

\(\displaystyle{ (9x+2i)(x+yi)=(9-2i)(x-yi)}\)
\(\displaystyle{ 9x+9yi+2xi+2y i^{2}=9x-9yi-2xi+2y i^{2}}\)

poskracałem

\(\displaystyle{ 9yi+2xi=-9yi-2xi}\)
\(\displaystyle{ 18yi+4xi=0}\)

podzieliłem obustronnie przez 2:


\(\displaystyle{ 9yi+2xi=0}\)

i przed nawias:

\(\displaystyle{ i(9y+2x)}\)

to jest równe 0 wtedy gdy:

\(\displaystyle{ 9y+2x=0}\)

\(\displaystyle{ 9y=-2x}\)

\(\displaystyle{ y= -\frac{2}{9}x}\)

podstawiłem tutaj :

\(\displaystyle{ 9yi+2xi=0}\)

\(\displaystyle{ 9(- \frac{2}{9}x)+2x=0}\)

\(\displaystyle{ -2x+2x=0}\)

\(\displaystyle{ 0=0}\)

\(\displaystyle{ x\in R}\)



w odpowiedzi jest : \(\displaystyle{ y= -\frac{2}{9}x, x\in R \setminus \left\{ 0\right\}}\)

skąd wzięło to że x należy do liczb rzeczywistych za wyjątkiem 0 ? w którym miejscu powinno się postawić założenie że \(\displaystyle{ x \neq 0}\)?

Dziękuję za pomoc : )

[Kartezjusz]

Zauważ,że ułamki można rozszerzać i skracać, i analizą starożytnych mamy ,że jak wstawimy \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymamy bzdurę.

[Adifek]

\(\displaystyle{ 9yi+2xi=0}\)

i przed nawias:

\(\displaystyle{ i(9y+2x)}\)

to jest równe 0 wtedy gdy:

\(\displaystyle{ 9y+2x=0}\)

\(\displaystyle{ 9y=-2x}\)

\(\displaystyle{ y= -\frac{2}{9}x}\)

podstawiłem tutaj :

\(\displaystyle{ 9yi+2xi=0}\)

\(\displaystyle{ 0=0}\)

Nie wpadłeś na to, że podstawiając wynik jakiegoś równania do tego samego równania dostaniesz tożsamość?

Założenie, że \(\displaystyle{ x\neq 0}\) powinno od razu Ci przyjść do głowy. Mianownik nie może być zerem więc \(\displaystyle{ x-iy\neq 0}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) nie mogą być jednocześnie zerem

[Joker1309]

tak mi się wydawało ale nie byłem pewny : ).

to pod co powinienem to podstawić jak nie mam układu równań ?

[Kartezjusz]

Pod równanie.

[Joker1309]

Podstawiłem pod równanie, tylko że mam jedno i to są jego przekształcenia, czyli obojętnie gdzie podstawie (chyba). Może zupełnie innym sposobem powinno się to rozwiązać ?

[Kartezjusz]

O .Nie podstawiaj już. Zauważ tylko kiedy mianownik się zeruje.