Problem z zamianą łukową przy przy postaci trygonometrycznej

[Layflette]

Witam. Mam pewien problem. Otóż rozwiązując przykład:
\(\displaystyle{ 1- \sqrt{3}i}\) otrzymuję błędny wynik.
Wyznaczam \(\displaystyle{ |z| = \sqrt{1 ^{2} + 3} = 2}\)
przy czym a = 1 i b = \(\displaystyle{ - \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = - \frac{ \sqrt{3}}{2} , \cos \alpha = \frac{1}{2}}\) Z czego wywnioskowałem, że \(\displaystyle{ \alpha = \frac{5}{3} \pi}\)
No i rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 1 - \sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{5}{3} \pi + \sin \frac{5}{3} \right) i \right) =
2 \left( \cos \left( \pi + \frac{2}{3} \pi \right) + \sin \left( \pi +\frac{2}{3} \pi \right) =
2 \left( \cos \left( - \frac{2}{3} \pi \right) + \sin \left( -\frac{2}{3} \pi \right) i \right) .}\)..
Niestety rozwiązanie jest inne a mianowicie:
\(\displaystyle{ 1- \sqrt{3}i = 2 \left( \cos \left( - \frac{ \pi }{3} \right) + \sin \left( - \frac{ \pi }{3} \right) i \right)}\)
Czy ktoś mógłby mi to wytłumaczyć, byłbym bardzo wdzięczny

[Kartezjusz]

Pwinny zostać wartości z plusami, ewentualnie \(\displaystyle{ \frac{5}{3}=2- \frac{1}{3}}\)

[Powermac5500]

Narysuj sobie tę liczbę na płaszczyźnie.

Mierząc kąt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara masz
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{5}{3} \pi}\)

a jak go zmierzysz zgodnie to

\(\displaystyle{ \alpha = - \frac{1}{3} \pi}\)

[Layflette]

@Kartezjusz:
Czyli rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 2 \left( \cos \left( \frac{2}{3} \pi \right) + \sin \left( \frac{2}{3} \pi \right) i \right)}\) to to samo co
\(\displaystyle{ 1- \sqrt{3}i = 2 \left( \cos \left( - \frac{ \pi }{3} \right) + \sin \left( - \frac{ \pi }{3} \right) i \right)}\) ?
Jeśli tak, czy to się bierze z tego, że funkcja sinus ma okres \(\displaystyle{ \pi}\)?

#Edit -> a gdybym zostawił w postaci \(\displaystyle{ \frac{5}{3} \pi}\) i wyrażenie wyglądało by następująco:
\(\displaystyle{ 1 - \sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{5}{3} \pi + \sin \frac{5}{3}i \right) \right)}\)
to czy to byłby błąd czy zależy od nauczyciela?

[Kartezjusz]

Tak jest.

[Simon86]

zapamiętaj że argument liczby zespolonej należy do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -\pi , \pi\right\rangle}\) , więc \(\displaystyle{ \frac{5}{3} \pi}\) od razu odpada