Pierwiastki zespolone z jedynki.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam za zadanie policzyć wszystkie pierwiastki w takim przykładzie:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{1}}\)
Wiem, że na to jest wzór, widziałem na wiki, nie wiem tylko skąd się wziął. Chciałem to sprowadzić do postaci trygonometrycznej i potem coś robiłem na kształt przykładu z Krysickiego/Włodarskiego ale efekt marny. Proszę uprzejmie o wskazówki i pozdrawiam.

[yorgin]

Ostatnio próbowałem wytłumaczyć, skąd się bierze wzór na pierwiastek n-tego stopnia w tym temacie. Rzuć okiem na ostatni post.

[Gouranga]

jeśli chodzi o wzór de Moivre'a to jego postać bezpośrednio ma związek z graficzną metodą potęgowania/pierwiastkowania liczb zespolonych (z okręgiem i dzieleniem kąta pełnego na n części przy pierwiastku n-tego stopnia), jeśli znasz tę metodę to wzór de Moivre'a nie powinien być zagadką. A jeśli nie znasz to warto poznać.

[dawid.barracuda]

Nie znam tej metody. Gdzie mogę znaleźć jej opis?
yorgin - w tym poście o którym mówiłeś wszystko jasne :]

[Gouranga]

mogę ci tu szybko opisać metodę graficzną
musisz znać moduł swojej liczby i jej kąt nachylenia od osi \(\displaystyle{ \Re}\) (co można łatwo zrobić mając ją w postaci \(\displaystyle{ a + bi}\) z prostej trygonometrii w trójkącie)
mając znane \(\displaystyle{ |z|, \varphi}\) jeśli chcesz wyciągnąć pierwiastki n-tego stopnia to musisz po kolei:
-policzyć \(\displaystyle{ |\epsilon| = \sqrt[n]{|z|}}\)
-policzyć \(\displaystyle{ \varphi_{\epsilon} = \frac{\varphi}{n}}\)
i teraz rysujesz okrąg o środku w początku układu i promieniu \(\displaystyle{ |\epsilon|}\)
zaznaczasz na nim punkt oodchylony o \(\displaystyle{ \varphi_{\epsilon}}\) od osi \(\displaystyle{ \Re}\) a każdy następny w równych odstępach co \(\displaystyle{ \frac{360^{\circ}}{n}}\) żeby wyszło ich dokładnie n, te punkty to twoje pierwiastki, możesz od razu zapisać ich postaci trygonometryczne albo bawić się w zamianę na algebraiczną.

-- 5 paź 2013, o 17:31 --

a z tego już jasno wynika, że potęgowanie działa odwrotnie i stąd wzór de Moivre'a
\(\displaystyle{ z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)\\
\\
z^n = |z|^n (\cos {n\varphi} + i \sin{n\varphi})\\
\\
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}(\cos{\frac{\varphi}{n}} + i \sin {\frac{\varphi}{n}})}\)

[dawid.barracuda]

W odpowiedzi mam takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}\left( -\left( \sqrt{5}+1 \right) \pm \sqrt{10-2 \sqrt{5} } \right)}\)? Skąd to się wzięło?