Równanie liczb zespolonych

[Lewo]

Mam takie zadanie

\(\displaystyle{ \left| z\right| i + Re(z) + Im(z) = 2i

\sqrt{x^{2}+y^{2}} i + x + y = 2i

\begin{cases} x + y = 0 \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2 \end{cases}

\begin{cases} x = -y \\ \sqrt{(-y)^{2}+y^{2}} = 2 \end{cases}}\)

i wyszło mi z tego układu
\(\displaystyle{ y = \sqrt{2} \wedge x = -\sqrt{2}}\)

natomiast w odpowiedzi jest jeszcze odpowiedz gdzie x i y są przeciwne.
Mi też zawsze druga odpowiedź wychodziła gdy używałem 3'ego równania w układzie równań że suma kwadratów współczynników rzeczywistej i urojonej to moduł tej liczby ale tutaj nie widziałem potrzeby.
czy czegoś nie uwzględniłem w moim rozwiązaniu?

[Vardamir]

Będą dwie takie liczby. Zauważ, że podana przez Ciebie również spełnia to równanie.

W tym miejscu \(\displaystyle{ \sqrt{(-y)^{2}+y^{2}} = 2}\) gubisz wartość bezwzględną. Następna linijka to: \(\displaystyle{ \sqrt{2}|y| = 2}\)

[Lewo]

jak gubię? myslałem że wartości bezwzględną pozbyłem się poprzez tworzenie pierwiastka (zgodnie z wzorem na moduł liczby zespolonej).
mi dalej to wyszło tak
\(\displaystyle{ \sqrt{2y^{2}} = 2

\sqrt{2} \sqrt{y^{2}} = 2

\sqrt{2} y = 2}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ \sqrt{y^{2}} = 2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{y^2}=|y|}\)

Proponuję przy okazji nieco inne rozwiązanie:

Z postaci \(\displaystyle{ \left| z\right| i + \mbox{Re}(z) + \mbox{Im}(z) = 2i}\)
od razu wynika, że jeżeli \(\displaystyle{ z=x+iy}\), to \(\displaystyle{ x=-y}\). Zatem z marszu dostajemy
\(\displaystyle{ |z|i=2i \Rightarrow 2y^2=4}\)