Działania na liczbach zespolonych. Czy poprawnie?

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Działania na liczbach zespolonych. Czy poprawnie?

Post autor: dawid.barracuda »

Witam. Mam do policzenia taki przykład:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+i\right)^n }{ \left( 1-i\right)^{n-2} }}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\)

Zacząłem tak:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+i\right)^n }{ \left( 1-i\right)^{n-2} }= \left( 1-i\right)^2 \left( \frac{1+i}{1-i} \right)^n = -2i\left( \frac{1+i}{1-i} \right)^n}\)

Teraz policzyłem środek nawiasu:
\(\displaystyle{ \frac{1+i}{1-i} \right) = i}\)

Wobec czego zostaje: \(\displaystyle{ -2i\left( i ^n \right)=-2i^{n+1}}\)
W odpowiedzi mam natomiast: \(\displaystyle{ 2i^{n-1}}\)

Gdzie robię błąd? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.
szw1710

Działania na liczbach zespolonych. Czy poprawnie?

Post autor: szw1710 »

Pomnóż sobie to drugie przez \(\displaystyle{ -i^2}\)
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Działania na liczbach zespolonych. Czy poprawnie?

Post autor: dawid.barracuda »

Ano faktycznie Czy mogę to zapisać sobie tak (?):
\(\displaystyle{ -2i^{n+1} = \frac{-2i^{n+1} \cdot \left( -i^2\right) }{-i^2} = 2i^{n-1}}\)
szw1710

Działania na liczbach zespolonych. Czy poprawnie?

Post autor: szw1710 »

Możesz. Ale za bardzo kombinujesz. Przecież \(\displaystyle{ -i^2=1}\). Mnożenie przez jedynkę nie zmienia liczby.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Działania na liczbach zespolonych. Czy poprawnie?

Post autor: dawid.barracuda »

Tak, tak, jak najbardziej. Mnie chodziło o taki formalny zapis żeby było uwidocznione że nie zmieniam wartości. Dziękuję uprzejmie za pomoc i pozdrawiam
szw1710

Działania na liczbach zespolonych. Czy poprawnie?

Post autor: szw1710 »

Ale mnożąc bezpośrednio przez \(\displaystyle{ -i^2=1}\) też nie zmieniasz wartości. Tak więc wprowadzanie licznika i mianownika wydaje mi się przesadą.

Z drugiej strony mówię studentom, że dobra jest każda metoda rozwiązania zadania, byle poprawna. Twoja była.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Działania na liczbach zespolonych. Czy poprawnie?

Post autor: dawid.barracuda »

szw1710 pisze:Pomnóż
Gdyby nie ta sugestia to chyba bym nie wpadł na wprowadzenie licznika i mianownika Tylko bym od razu podzielił widząc jedynkę.
ODPOWIEDZ