Granica funkcji

[Emce1]

Skoro
\(\displaystyle{ \lim_{z \to \infty } ze^{-z} =0}\) (książka)
to dlaczego dla \(\displaystyle{ z \rightarrow \infty : Rez=0}\) jest \(\displaystyle{ \lim_{z \to \infty } ze^{-z} = \infty \neq 0}\)

[liu]

Napisane symbolicznie wyrażenie oznacza, że jeśli weźmiemy dowolny ciąg postaci \(\displaystyle{ z_n = i x_n}\), \(\displaystyle{ x_n\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ |x_n|\to \infty}\), to \(\displaystyle{ |z_n e^{-iz_n}|}\) zbiega do nieskończoności (w sensie zwykłej, rzeczywistej analizy).
Jak zapewne wiesz, \(\displaystyle{ e^{i\varphi}}\) jest punktem leżącym na okręgu jednostkowym dla wszystkich \(\displaystyle{ \varphi\in\mathbb{R}}\). Zatem \(\displaystyle{ |z_n e^{-z_n}| = |ix_n e^{-ix_n}| = |x_n| \to \infty}\).

Jeśli to, co napisałem jest niezrozumiałe, radzę sobie przypomnieć definicję topologii na uzwarceniu \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).

[Emce1]

To, że dla \(\displaystyle{ z_{n} = i x_{n} \wedge x_{n} \in R}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{z \to \infty } ze^{-z} = \infty}\) to wniosek, do którego już wcześniej doszedłem, pytanie tylko czemu według książki \(\displaystyle{ \lim_{z \to \infty } ze^{-z} = 0}\), skoro może się okazać, że wcale nie zbiega do zera( w istocie może zbiegać, ale tylko jeżeli \(\displaystyle{ Rez}\) nie jest ograniczone) , tylko rozbiega, czyli taka granica w ogóle by nie istniała. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

[Kartezjusz]

Zacytuj Te teksty, gdzie następuje sprzeczność. Bo jeśli \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}}\) to z faktu \(\displaystyle{ z<e^{z}}\) dla \(\displaystyle{ z>1}\) wynika, że granica wynosi \(\displaystyle{ 0}\) Czyli pokazaliśmy,że ciąg, który jest zbieżny w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nie musi być zbieżny na płaszczyźnie zespolonej. Przeczytaj jeszcze raz zadanie.

[Emce1]

Zadanie polega na obliczeniu granicy tego wyrażenia dla zmiennej zespolonej z. Wg. odpowiedzi ta granica = 0.

[Kartezjusz]

To mają błąd. Liu znalazł podciąg, dla którego ta granica jest różna od zera.