Impedancja zespolona

[Bones]

Moje pytanie jest następujące - czy da się przejść z niezespolonej impedancji do zespolonej dla np. kondensatora?

\(\displaystyle{ v_{c}(t) = V \cdot \cos (\omega t)}\)
\(\displaystyle{ i_{c}(t) = C\frac{dv_{c}(t)}{dt} = -\omega CV \cdot \sin (\omega t)}\)

\(\displaystyle{ \frac{v(t)}{i(t)} = \frac{V \cdot \cos (\omega t)}{ -\omega CV \cdot \sin (\omega t)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{v(t)}{i(t)} = \frac{\cos (\omega t)}{ -\omega C \cdot \sin (\omega t)}}\)

I jak przejść do zespolenia:

\(\displaystyle{ Z = \frac{1}{j \omega C}}\)

Pomęczyłem się chwile, ale nie umiem wykonać tego przejścia... Trochę dziwne, że da się to wyprowadzić stawiając nieco inne założenia... Jeśli się nie da, to czy ktoś jest w stanie dla mnie zaprezentować wyprowadzenie zespolonej impedancji?

[mdd]

Moje pytanie jest następujące - czy da się przejść z niezespolonej impedancji do zespolonej dla np. kondensatora?

Impedancja niezespolona? co to za radosna twórczość? Jeśli zdefiniujesz tą swoją impedancję "niezespoloną" dwójnika jako stosunek wartości chwilowej napięcia do wartości chwilowej prądu wymuszonego tym napięciem to otrzymasz bardzo niepraktyczny opis. Spójrz na wyrażenie, które otrzymałeś. Widzisz jakiś pożytek z tak zdefiniowanej wielkości? Potrafisz tą wielkość zinterpretować? Otrzymałeś jakąś funkcję czasu. Co się dzieje np. dla \(\displaystyle{ t=0}\) ? Nie wiem do czego Ci potrzebny związek między tą swoją impedancją "niezespoloną" a impedancją zespoloną.

-- 24 wrz 2013, o 23:53 --

Jeśli się nie da (...)

Może się da... ale czy jest sens?

(...) to czy ktoś jest w stanie dla mnie zaprezentować wyprowadzenie zespolonej impedancji?

Proszę bardzo.Dla prądu sinusoidalnie zmiennego o wartości chwilowej:
\(\displaystyle{ i(t)=I_m \sin\left( \omega t+\psi_i\right)}\)
zapisuje się odpowiadającą temu prądowi zespoloną wartość skuteczną prądu jako:
\(\displaystyle{ \underline{I}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}e^{j\psi_i}=Ie^{j\psi_i}}\) gdzie: \(\displaystyle{ I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}}\) - wartość skuteczna prądu \(\displaystyle{ i(t)}\)

Analogicznie dla sinusoidalnie zmiennego napięcia o wartości chwilowej:
\(\displaystyle{ u(t)=U_m\sin\left( \omega t +\psi_u\right)}\)
zapisujemy odpowiadającą temu napięciu zespoloną wartość skuteczną napięcia:
\(\displaystyle{ \underline{U}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}e^{j\psi_u}=U e^{j\psi_u}}\) gdzie: \(\displaystyle{ U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}}\) - wartość skuteczna napięcia \(\displaystyle{ u(t)}\)

\(\displaystyle{ \omega=\frac{2 \pi }{T}}\) - pulsacja napięcia/prądu
\(\displaystyle{ T}\) - okres przebiegu napięcia/prądu

Impedancję zespoloną \(\displaystyle{ \underline{Z}}\) naszego dwójnika określamy jako:

\(\displaystyle{ \underline{Z}=\frac{\underline{U}}{\underline{I}}=\frac{U e^{j\psi_u}}{Ie^{j\psi_i}}=\frac{U}{I}e^{j\left( \psi_u-\psi_i\right) }=Ze^{j \varphi }}\) gdzie: \(\displaystyle{ Z=\frac{U}{I}}\)

Załóżmy że napięcie na elemencie \(\displaystyle{ C}\) ma wartość chwilową:
\(\displaystyle{ u_c(t)=U_c \sqrt{2} \sin\left( \omega t +\alpha \right) \qquad \Rightarrow \underline{U_c}=U_c e^{j\alpha}}\)

...wtedy prąd elementu \(\displaystyle{ C}\) ma wartość:
\(\displaystyle{ i_{c}(t) = C\frac{du_{c}(t)}{dt}=\omega C U_c \sqrt{2} \cos\left( \omega t +\alpha \right)=\omega C U_c \sqrt{2} \sin\left( \omega t +\alpha + \frac{ \pi }{2}\right)\qquad \Rightarrow \\ \Rightarrow \underline{I_c}=\omega C U_c e^{j\left( \alpha+\frac{ \pi }{2}\right) }}\)

Dalej z ogólnej definicji impedancji zespolonej dwójnika liczymy impedancję zespoloną elementu \(\displaystyle{ C}\):

\(\displaystyle{ \underline{Z_c}=\frac{\underline{U_c}}{\underline{I_c}}=\frac{U_c e^{j\alpha}}{\omega C U_c e^{j\left( \alpha+\frac{ \pi }{2}\right) }}=\frac{1}{\omega C} \frac{1}{e^{j \frac{\pi}{2} }}=\frac{1}{j\omega C}}\)

[Bones]

Bones napisał(a):
Jeśli się nie da (...)

Może się da... ale czy jest sens?

Dość dziwne, że dostałem takie pytanie akurat tutaj, gdzie spodziewałem się raczej ludzi, którzy przez życie przeszli z ciekawością i zamiłowaniem do tak abstrakcyjnej dziedziny jaką jest matematyka. Tak czy inaczej dziękuję za odpowiedź. Czysta ciekawość.

[mdd]

Dość dziwne, że dostałem takie pytanie akurat tutaj, gdzie spodziewałem się raczej ludzi, którzy przez życie przeszli z ciekawością i zamiłowaniem do tak abstrakcyjnej dziedziny jaką jest matematyka.

Po prostu Kolega trafił na takiego typa jak ja, także nie uogólniajmy Lubię kiedy matematyka się przydaje i kiedy opis jest najprostszy jak to tylko możliwe. Przykładowo jeśli mam opisywać kwadrat w układzie współrzędnych biegunowych, to źle się czuję ... bo wiem, że układ współrzędnych prostokątnych jest do tego celu optymalny.

Trochę dziwne, że da się to wyprowadzić stawiając nieco inne założenia...

Może Kolega wyjaśni o jakie założenia chodzi? Może uda się w innych zasiać trochę ciekawości
Bardziej formalne wprowadzenie metody symbolicznej wygląda tak jak poniżej.
Jeśli przebieg napięcia kondensatora idealnego zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ u_c(t)=U_m \sin\left( \omega t+\alpha \right)=\Im \left( U_m e^{j\left( \omega t +\alpha\right) }\right)=\Im \left( U_m e^{j \alpha } \cdot e^{j \omega t }\right)=\\=\Im \left( \underline{U}_c \cdot e^{j \omega t }\right) \qquad \leftarrow (1)}\)

oraz prąd:

\(\displaystyle{ i_c(t)=I_m \sin\left( \omega t+\beta \right)=\Im \left( I_m e^{j\left( \omega t +\beta\right) }\right)=\Im \left( I_m e^{j \beta } \cdot e^{j \omega t }\right)=\\=\Im \left( \underline{I}_c \cdot e^{j \omega t }\right)\qquad \leftarrow (2)}\)

z drugiej strony prąd wynosi:

\(\displaystyle{ i_{c}(t) = C\frac{du_{c}(t)}{dt}=\omega CU_m \cos\left( \omega t +\alpha\right)= \omega CU_m \cdot \sin\left( \omega t +\alpha +\frac{\pi}{2}\right)=\Im\left(\omega CU_m e^{j\left( \omega t +\alpha+\frac{\pi}{2}\right) } \right)=\\=\Im\left(\omega C \cdot U_me^{j \alpha} e^{j\frac{\pi}{2}} e^{j \omega t } \right)=\Im\left(j\omega C \cdot U_me^{j \alpha} e^{j \omega t } \right)=\\=\Im\left(j\omega C \cdot \underline{U}_c \ e^{j \omega t } \right)\qquad \leftarrow (3)}\)

Porównując \(\displaystyle{ (2)}\) i \(\displaystyle{ (3)}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ j\omega C \cdot \underline{U}_c= \underline{I}_c}\)

Ale sądzę, że nie o to chodzi. Może z przekształceniem Fouriera by pokombinować?

[Bones]

Właśnie co do założeń, to z tego co udało mi się doczytać zakładamy, iż prąd i napięcie to jedynie część rzeczywista zespolenia (Ty akurat wziąłeś część urojoną) i byłem ciekaw, czy skoro da się impedancję wyprowadzić z napięcia i prądu zespolonego, to czy da się przeskoczyć do liczb urojonych już w ostatnim kroku tego wyprowadzenia. Ale muszę stwierdzić, że Twój drugi post to już prawie to! Tak czy inaczej dziękuję bardzo za odpowiedź.