Wartość argumentu

[superziom123]

Mam zadanie.
Niech \(\displaystyle{ z= \frac{ \left( - \sqrt{3}+i \right) ^{9} }{ \left( 1-i \right) ^{6} }}\) obliczyć \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) i \(\displaystyle{ arg z in left[ 0,2 pi
ight)}\)

Nie wiem do końca czy dobrze zrobiłem to zadanie. Zrobiłem coś takiego:

\(\displaystyle{ z _{1}= \left( - \sqrt{3}+i \right)}\)
\(\displaystyle{ z _{2}= \left( 1-i \right)}\)

i \(\displaystyle{ \left| z\right|= \frac{\left| z _{1} \right| }{\left| z _{2} \right| }}\) i policzyłem \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \right)}\).

po czym policzyłem \(\displaystyle{ \varphi _{1} = \frac{5}{6} \pi}\) i \(\displaystyle{ \varphi _{2}= \frac{7}{4} \pi}\) i tutaj pytanie czy teraz wystarczy podzielić pierwsze przez drugie i wychodzi \(\displaystyle{ \arg z}\) czy trzeba policzyć osobno z równania \(\displaystyle{ z= \frac{ \left( - \sqrt{3}+i \right) ^{9} }{ \left( 1-i \right) ^{6} }}\) licznik \(\displaystyle{ \left( -512\right)}\) i mianownik \(\displaystyle{ \left( 8\right)}\) i podzielić pierwsze przez drugie żeby policzyć \(\displaystyle{ \arg z}\)?

[Kartezjusz]

Masz dzielenie, czyli kąty odejmujesz.

[superziom123]

czyli co dokładnie jest źle? \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) policzyłem dobrze? a \(\displaystyle{ \arg z= \varphi _{1} - \varphi _{2}}\)?

[robertm19]

\(\displaystyle{ |z|}\) też jest źle. Powinno być \(\displaystyle{ \left| z\right|= \frac{\left| z _{1} \right|^9 }{\left| z _{2} \right|^6 }}\). Ogólnie wzór na potęgowanie wygląda tak \(\displaystyle{ z^n=|z|^n (\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))}\).

[superziom123]

ok, dzięki. A jak policzyć \(\displaystyle{ \arg z}\) ?

[Kartezjusz]

Liczysz argument górnej liczby i dolnej( jeszcze w nawiasach). Umiesz?

[superziom123]

policzyłem i \(\displaystyle{ \arg z _{1}= \frac{5}{6} \pi}\) a \(\displaystyle{ \arg z _{2}= \frac{7}{4} \pi}\) i teraz odejmuje pierwsze od drugiego czy dzielę pierwsze przez drugie?

[Kartezjusz]

mnożysz przez wykładniki na mocy wzoru de Moivre'a,a potem odejmujesz argumenty. Dzielisz, ale moduły.