Obliczyc korzystajac z postaci trygonometrycznej

[Falstaff]

\(\displaystyle{ \frac{ \left( 1-i \right) \left( 1+ \sqrt{3}i \right) }{ \left( -\sqrt{3}-1 \right) ^{10} }}\)

\(\displaystyle{ \left( 1-i \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7}{4} \pi + i\sin \frac{7}{4} \pi \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{3}i \right) =2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( 1-i \right) \left( 1+ \sqrt{3}i \right) = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{23}{12} \pi + i\sin \frac{23}{12} \pi \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( -\sqrt{3}-1 \right) ^{10}= 2^{10} \left( \cos \frac{ \pi }{3} + i\sin \frac{ \pi }{3} \right)}\)

Czyli składając w całość:

\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{2} \left( \cos \frac{23}{12} \pi + i\sin \frac{23}{12} \pi \right) }{2^{10} \left( \cos \frac{ \pi }{3} + i\sin \frac{ \pi }{3} \right) }}\)

tak ma być ?

[torus]

\(\displaystyle{ \left( 1-i \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7}{4} \pi + i\sin \frac{7}{4} \pi \right)}\)

To jest OK, chociaż gdybyś użył kąta ujemnego to pewnie później byłoby łatwiej liczyć.

\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{3}i \right) =2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} \right)}\)

Nie ten kąt.

\(\displaystyle{ \left( -\sqrt{3}-1 \right) ^{10}= 2^{10} \left( \cos \frac{ \pi }{3} + i\sin \frac{ \pi }{3} \right)}\)

Tu chyba gdzieś powinno być \(\displaystyle{ i}\)? Tzn. pewnie \(\displaystyle{ -\sqrt{3}i-1}\) lub ewentualnie \(\displaystyle{ -\sqrt{3}-i}\).

[Falstaff]

ok

tutaj bedzie tak

\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{3}i \right) =2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right)}\)


a tutaj faktycznie jest i

\(\displaystyle{ \left( -\sqrt{3}-i \right) ^{10}= 2^{10} \left( \cos \frac{ \pi }{3} + i\sin \frac{ \pi }{3} \right)}\)

czyli wychodzi tak ?

\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{2} \left( \cos \frac{25}{12} \pi + i\sin \frac{25}{12} \pi \right) }{2^{10} \left( \cos \frac{ \pi }{3} + i\sin \frac{ \pi }{3} \right) }}\)

[torus]

\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{3}i \right) =2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right)}\)

OK

\(\displaystyle{ \left( -\sqrt{3}-i \right) ^{10}= 2^{10} \left( \cos \frac{ \pi }{3} + i\sin \frac{ \pi }{3} \right)}\)

Tu jeszcze coś trzeba poprawić. Policz jeszcze raz argument liczby w nawiasie. Jak chcesz możesz zmienić znaki na + bo i tak wykładnik potęgi jest parzysty.

[Kartezjusz]

Dodam,że ta sztuczka z kątami może zostać użyta i w dzieleniu.

[Falstaff]

Źle dobrałem sobie ćwiartki wcześniej

\(\displaystyle{ \left( -\sqrt{3}-i \right) ^{10}= 2^{10} \left( -\cos \frac{ \pi }{3} - i\sin \frac{ \pi }{3} \right)}\)

i teraz jeśli mi wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{2} \left( \cos \frac{23}{12} \pi + i\sin \frac{23}{12} \pi \right) }{2^{10} \left(- \cos \frac{ \pi }{3} - i\sin \frac{ \pi }{3} \right) }}\)

liczę to dalej i mam

\(\displaystyle{ 2^{ -\frac{17}{2} } (\cos \frac{19}{12} \pi +i\sin \frac{19}{12} \pi )}\)

i to chyba się tak zostawia racja ?

[torus]

Źle dobrałem sobie ćwiartki wcześniej

\(\displaystyle{ \left( -\sqrt{3}-i \right) ^{10}= 2^{10} \left( -\cos \frac{ \pi }{3} - i\sin \frac{ \pi }{3} \right)}\)

Powinno być \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{3}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{3}}\).

\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{2} \left( \cos \frac{23}{12} \pi + i\sin \frac{23}{12} \pi \right) }{2^{10} \left(- \cos \frac{ \pi }{3} - i\sin \frac{ \pi }{3} \right) }}\)

Składniki licznika są OK, ale iloczyn musisz przeliczyć jeszcze raz.

i to chyba się tak zostawia racja ?

Tak, wynik będzie co prawda inny, ale będzie tam ułamek nieskracalny z 12 w mianowniku i możesz to zostawić w postaci trygonometrycznej.