Pierwiastkowanie liczby zespolonej - równanie zespolone

[Kowal4574]

Witam, mam pewne pytanie odnośnie zadania np \(\displaystyle{ z^3=(2+2i)^6.}\)Gdy potęguję prawą stronę, przekształcam na postać trygonometryczna itd dostaje równanie \(\displaystyle{ z^3= -512i}\). Pytanie dotyczy nie tylko tego przykładu gdzie jest "i" , ale także np \(\displaystyle{ z^3=-64}\) . Co mam teraz zrobić ? Zamienić minus na \(\displaystyle{ i^2}\) i dopiero spierwiastkować , spierwiastkować to co mam czyli z minusem czy też przenieść na lewo \(\displaystyle{ (z^3+64)=0}\) i bawić się w wzory skróconego mnożenia ? Sprawdzałem dwa pierwsze sposoby do jednego przykładu i wiem, że wychodzą inne wyniki, które mam zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej . Pomóżcie bo 4 termin z matmy czeka... Pozdrawiam

[Chromosom]

Należy skorzystać ze wzoru na pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z liczby zespolonej.

[Kowal4574]

no tak tylko czy na \(\displaystyle{ - 64}\) czy na \(\displaystyle{ 64i^2}\)?

[yorgin]

Obie liczby są równe, więc wszystko jedno.

[Kowal4574]

A mógłbyś zrobić ten przykład na dwa sposoby bo ja robię i jakoś nie widzę, żeby wyniki były takie same

[yorgin]

Widzę dwa przykłady w pierwszym poście oraz nie wiem, o jakie dwa sposoby Ci chodzi.

[Gouranga]

zauważ, że \(\displaystyle{ -64 = -64 + 0i = 64(\cos \pi + i\sin \pi)}\)

[Kowal4574]

chodzi mi o to, że pierwszy sposób gdy pierwiastkujemy \(\displaystyle{ -64}\) a drugi gdy minus zamienimy na \(\displaystyle{ i^2}\) ten pierwszy sposób jest łatwy, gorzej z drugim \(\displaystyle{ i}\)

[Gouranga]

no to wtedy musisz wyciągnąć osobno pierwiastek 3 stopnia z 64 co jest łatwe i z \(\displaystyle{ i^2}\) co też nie jest trudne bo prędzej czy później przejdziesz do \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1}}\)