równanie zespolone

[Hellhammer]

Dobrze? Przy okazji, jak w wolfram alpha wpisać sprzężenie liczby z?
\(\displaystyle{ \[i(z+\overline{z})+i(z-\overline{z})=2i-3\]}\)
\(\displaystyle{ i(x+iy+x-iy)+i(x+iy-x+iy)=2i-3}\)
\(\displaystyle{ i(x+x)+i(2iy)=2i-3}\)
\(\displaystyle{ 2ix+2i^{2}y=2i-3}\)
\(\displaystyle{ 2ix-2y=2i-3}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x=2 \\ -2y=-3 \end{cases}}\)

[yorgin]

Dobrze, aczkolwiek można było to rozwiązać bez wchodzenia w zapis \(\displaystyle{ z=x+iy}\) poprzez grupowanie wyrazów w pierwszej linijce zadania.

P.S. Avatar to Twój portret? Mam wrażenie, że gdzieś taką Twarz widziałem.

[Hellhammer]

Dzięki, a na awatarze to nie ja

Tego nie wiem jak ruszyć
\(\displaystyle{ z^{3} =-i}\)

[yorgin]

To z de Moivre'a.

[Hellhammer]

ale jak? Najpierw liczę \(\displaystyle{ z^{3}= (x+iy)^{3}}\) w postaci potęgowej a później a \(\displaystyle{ -i=0-i}\)? Bo nie wiem jak to złączyć razem.-- czwartek, 12 września 2013, 16:48 --\(\displaystyle{ z^{3} =-i}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{1^{2}+ 1^{2}}= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ z ^{3} =4 \sqrt{2} (\cos \alpha3 \frac{ \pi }{4}+\sin \alpha3 \frac{ \pi }{4})}\)

[yorgin]

U Ciebie \(\displaystyle{ z=(-i)^{\frac{1}{3}}}\), gdzie pozostaje do policzenia prawa strona, a to z de Moivre'a:

\(\displaystyle{ w^{\frac{1}{n}}=(|w|(\cos x+i\sin x))^{\frac{1}{n}}=|w|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right),\quad k\in\{0,\ldots, n-1\}}\)

[Hellhammer]

tak...?
\(\displaystyle{ z=(-i)^{\frac{1}{3}}}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ -1^{2} } = 1}\)
\(\displaystyle{ \cos x= \frac{0}{1} =0=2 \pi - \frac{ \pi }{2} =1 \frac{1}{2} \pi}\)
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{-1}{1} =-1=2 \pi - \frac{1}{2} \pi =1 \frac{1}{2}\pi}\)
\(\displaystyle{ z^{ \frac{1}{3} }=|1|^{ \frac{1}{3} }( \cos \frac{1}{3} \frac{3}{2} \pi +\frac{1}{3} } i\sin \frac{1}{3} \frac{3}{2} \pi)=|1|^{ \frac{1}{3} }(\cos \frac{1}{2} \pi +i\sin \frac{1}{2} \pi )}\)

-- czwartek, 12 września 2013, 17:10 --

a \(\displaystyle{ z^{3}+ \pi =0}\) jak to w ogóle zacząć?

[yorgin]

\(\displaystyle{ \cos x= \frac{0}{1} =0=2 \pi - \frac{ \pi }{2} =1 \frac{1}{2} \pi}\)
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{-1}{1} =-1=2 \pi - \frac{1}{2} \pi =1 \frac{1}{2}\pi}\)

No to jest bez sensu napisane. Z tego wynika, że wartości sinusa i cosinusa są większe od \(\displaystyle{ 4}\).
Masz \(\displaystyle{ \cos x=0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x=-1}\) i szukasz \(\displaystyle{ x}\) takiego, żeby te równania były spełnione.

\(\displaystyle{ z^{ \frac{1}{3} }=|1|^{ \frac{1}{3} }( \cos \frac{1}{3} \frac{3}{2} \pi +\frac{1}{3} } i\sin \frac{1}{3} \frac{3}{2} \pi)=|1|^{ \frac{1}{3} }(\cos \frac{1}{2} \pi +i\sin \frac{1}{2} \pi )}\)

Jak już masz \(\displaystyle{ x}\) wyznaczone z poprzedniej uwagi, to podstaw do wzoru. Rozwiązań nie będzie jedno, lecz trzy. We wzorze indeksowane są liczbami \(\displaystyle{ k}\).

a \(\displaystyle{ z^{3}+ \pi =0}\) jak to w ogóle zacząć?

Robisz dokładnie tak samo, jak poprzedni przykład.