Dowód własności modułu liczby zespolonej |z+w|<=|z| + |w|

[iglomosh]

Witam

Chciałbym poznać dowód własności modułu liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \left| z+w\right| \le \left| z\right|+\left| w\right|}\)

Jak ten dowód wygląda?

Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ z = a + bi}\)
\(\displaystyle{ w = c + di}\)

\(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ i=\left( 0,1\right) , i \in \mathbb{C}}\)

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ z+w = (a+c) + i(b+d) \\
|z+w| = \sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2} \\
|z+w| = \sqrt{a^2+ 2ac + b^2 + b^2 + 2bd + d^2} \\
|z| + |w| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}}\)

[bartek118]

I teraz podstaw te dane do nierówności i przekształcaj ją równoważnie.

[iglomosh]

\(\displaystyle{ |z| + |w| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}}\)

Dlaczego sumujesz to co jest pod pierwiastkami? Jest jakaś własność, która na to pozwala?

\(\displaystyle{ \left| z\right| + \left| w\right| = \sqrt{ a ^{2} + b ^{2} } + \sqrt{c ^{2} + d ^{2} }}\)

[EDIT]
Z tego co wiem to istnieje własność, która pozwala jedynie na to:
\(\displaystyle{ \left| z\right| + \left| w\right| = \sqrt{ a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + d ^{2} +2 \sqrt{\left( a ^{2} + b ^{2}\right)\left( c ^{2} + d ^{2} \right) }}\)

[M Ciesielski]

Można się obejść bez zapisywania tych liczb w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) No to jedziem:

\(\displaystyle{ |z+w|^2 = (z+w) \overline{(z+w)} = (z+w)(\overline{z} + \overline{w}) = z\overline{z} + z\overline{w} + w\overline{z} + w\overline{w} = z\overline{z} + z\overline{w} + \overline{z\overline{w}} + w\overline{w} = |z|^2 + 2 \mathfrak{R}(z\overline{w}) + |w|^2 \le |z|^2 + 2|z\overline{w}| + |w|^2 = |z|^2 + 2|z||w| + |w|^2 = \left(|z|+|w|\right)^2}\)

Pozdro.

edit:
Korzystamy z tego, że:
- \(\displaystyle{ |z|^2 = z\overline{z}}\)
- \(\displaystyle{ z+\overline{z} = 2 \mathfrak{R} (z)}\)
- \(\displaystyle{ \mathfrak{R}(z) \le |z|}\)

[iglomosh]

Można się obejść bez zapisywania tych liczb w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) No to jedziem:

\(\displaystyle{ |z+w|^2 = (z+w) \overline{(z+w)} = (z+w)(\overline{z} + \overline{w}) = z\overline{z} + z\overline{w} + w\overline{z} + w\overline{w} = z\overline{z} + z\overline{w} + \overline{z\overline{w}} + w\overline{w} = |z|^2 + 2 \mathfrak{R}(z\overline{w}) + |w|^2 \le |z|^2 + 2|z\overline{w}| + |w|^2 = |z|^2 + 2|z||w| + |w|^2 = \left(|z|+|w|\right)^2}\)

Pozdro.

Dzięki!
Właśnie przed chwilą wpadłem na to by podnieść jedną i drugą stronę do kwadratu i szukać jakichś oczywistych stwierdzeń, które pozwolą określić znak relacji Dzięki raz jeszcze!

[Ser Cubus]

a tak, przepraszam, zagapiłem się pisząc

[Gouranga]

wystarczy spojrzeć na interpretację geometryczną i zauważyć, że dodawanie liczb zespolonych wygląda tak samo, jak dodawanie wektorów pokrywających się z ich modułami. A dla wektorów ta zależność jest znana wychodząc chociażby z faktu, że jeśli wektory nie są współliniowe to te dwa wektory i wektor wypadkowy będący ich sumą tworzą trójkąt (na fizyce mówiło się kiedyś o regule równoległoboku)