Potęgowanie liczby zespolonej

qDanys · Post autor: **qDanys** » 9 wrz 2013, o 00:15

Witam,
Muszę podnieść tą liczbę zespoloną do \(\displaystyle{ 14}\) potęgi, oraz podać jej argument główny.
\(\displaystyle{ z ^{14}= (2-2 \sqrt{3})^{14}}\)
Mój wynik :
\(\displaystyle{ z ^{14}= 4 ^{14} (- \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} )}\)
\(\displaystyle{ \arg z=-\arctan\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
mógłby ktoś sprawdzić czy uzyskałem poprawne wyniki ?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 9 wrz 2013, o 00:35

Dobrze, trochę trzeba się naszukać na wolframie, ale

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282-2sqrt%283%29i%29^14

skopiuj i poszukaj podobnego wyniku. Jest promień jest kąt podany, no niestety nie ma typowego wyniku jaki Ty byś chciał, ale można zauważyć, że to to samo.
Jeśli chodzi o kąt, to raczej sugerowałbym podać normalną wartość, a nie wpisywać poprzez arcus tangens.

dulcemaria94 · Post autor: **dulcemaria94** » 9 wrz 2013, o 00:40

Mi wyszło:

\(\displaystyle{ z ^{14}=4 ^{14}\left( - \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3}}{2}\right)}\)

Ramię końcowe kąta \(\displaystyle{ \frac{14 \pi }{3}}\) leży w drugiej ćwiartce. Tam cosinus przyjmuje wartości ujemne, ale sinus-dodatnie. Czy dobrze myślę??

pyzol · Post autor: **pyzol** » 9 wrz 2013, o 00:46

\(\displaystyle{ -\frac{14\pi}{3}}\) i popełniasz błąd.
Bądź \(\displaystyle{ \frac{70\pi}{3} \rightarrow \frac{4\pi}{3}}\) a to trzecia ćwiartka.

dulcemaria94 · Post autor: **dulcemaria94** » 9 wrz 2013, o 00:56

Tak, już rozumiem i dziękuję!

qDanys · Post autor: **qDanys** » 9 wrz 2013, o 09:59

Również dziękuję i pozdrawiam