co oznacza gwiazdka przy liczbie, co się dzieje w tym równan

[Ser Cubus]

witam,
nie mam pojęcia co się tutaj stało

\(\displaystyle{ Z = R_n + jX_n}\)

czy ktoś może mi wytłumaczyć przejście z przedostatniej do ostatniej linijki oraz powiedzieć co oznacza gwiazdka (sprzężenie?) ?

jest to wzór na moc pozorną

\(\displaystyle{ P_{z0} = 0.5 \widehat{U}\widehat{I}^* = 0.5 \frac{\widehat{E}Z_0}{Z_2+Z_0} \left( \frac{\widehat{E}Z_0}{Z_2+Z_0} \right) ^* =
0.5 \left| \frac{\widehat{E} }{Z_2+Z_0}\right|^2 Z_0 = \\
0.5 \frac{|\widehat{E^2}|(R_0+jX_0)}{\left| R_2+R_0+j(X_2+X_\right|^2 } =\\
0.5 \frac{|\widehat{E^2}|(R_0+jX_0)}{\left( (R_2+R_0)^2+j(X_2+X_\right)^2 )}}\)

[mdd]

czy ktoś może mi wytłumaczyć przejście z przedostatniej do ostatniej linijki oraz powiedzieć co oznacza gwiazdka (sprzężenie?) ?

Sprzężenie działa w ten sposób, że zmienia znak części urojonej liczby zespolonej na przeciwny, tzn.: \(\displaystyle{ \left( a+jb\right)^* =a-jb}\)

tam powinnien być taki daszek ^ nad literką, ale nie mogę tego znaleźć. Powinno wyglądać to tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \hat{U}\hat{I}^{*}}\)

Kod: Zaznacz cały

frac{1}{2} hat{U}hat{I}^{*}

Czasem kreska u góry nad symbolem \(\displaystyle{ \overline{z}}\) oznacza operację sprzężenia właśnie. Także trzeba uważać co dany autor ma na myśli.

Zapoznaj się z .
\(\displaystyle{ \underline{z} \ \underline{z}^{*}= \left| \underline{z}\right|^2}\)

Uzasadnienie. Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ \underline{z}=a+jb}\) to:
\(\displaystyle{ \underline{z} \ \underline{z}^{*}=\left( a+jb\right)\left( a+jb\right)^* =\left( a+jb\right) \left( a-jb\right) =a^2+b^2=\left| \underline{z}\right|^2}\)

Na podobnej zasadzie dowodzi się, że \(\displaystyle{ \left( \underline{z_1} \ \underline{z_2}\right)^*=\underline{z_1}^{*} \underline{z_2}^{*}}\)

[Ser Cubus]

tak, znam te własności, symbole już poprawiłem

może pytanie jest nieadekwatne do działu, ale dlaczego tam jest \(\displaystyle{ \hat{I}^*}\) ?

[mdd]

Po pierwsze. Póki co ja nie spotkałem się z takim oznaczeniem jak \(\displaystyle{ \hat{I}}\). Co ten symbol oznacza mogę się tylko domyślać. Oto moje domysły. Dla prądu sinusoidalnie zmiennego o wartości chwilowej:
\(\displaystyle{ i(t)=I_m \sin\left( \omega t+\psi_i\right)}\)
zapisuje się odpowiadającą temu prądowi zespoloną wartość skuteczną prądu jako:
\(\displaystyle{ \underline{I}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}e^{j\psi_i}=Ie^{j\psi_i}}\) gdzie: \(\displaystyle{ I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}}\) - wartość skuteczna prądu \(\displaystyle{ i(t)}\)

Analogicznie dla sinusoidalnie zmiennego napięcia o wartości chwilowej:
\(\displaystyle{ u(t)=U_m\sin\left( \omega t +\psi_u\right)}\)
zapisujemy odpowiadającą temu napięciu zespoloną wartość skuteczną napięcia:
\(\displaystyle{ \underline{U}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}e^{j\psi_u}=U e^{j\psi_u}}\) gdzie: \(\displaystyle{ U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}}\) - wartość skuteczna napięcia \(\displaystyle{ u(t)}\)

\(\displaystyle{ \omega=\frac{2 \pi }{T}}\) - pulsacja napięcia/prądu
\(\displaystyle{ T}\) - okres przebiegu napięcia/prądu

Te podstawy metody symbolicznej już chyba znasz?

I teraz mogę się domyślać, że \(\displaystyle{ \hat{I}}\) jest wartością zespoloną odpowiadającą prądowi sinusoidalnie zmiennemu \(\displaystyle{ i(t)=I_m \sin\left( \omega t+\psi_i\right)}\) i wynosi ona:\(\displaystyle{ \hat{I}=I_me^{j\psi_i}}\). Czyli związek pomiędzy skuteczną wartością zespoloną prądu \(\displaystyle{ \underline{I}}\) a tym "czymś" \(\displaystyle{ \hat{I}}\) jest taki: \(\displaystyle{ \underline{I}=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{I}}\)

Teraz zajmijmy się naszym wzorem na zespoloną moc pozorną \(\displaystyle{ \underline{S}}\) (z tego co wiem to właśnie litera \(\displaystyle{ S}\) jest zarezerwowana na oznaczenie mocy pozornej a litera \(\displaystyle{ P}\) jest zarezerwowana na oznaczenie mocy czynnej). Czyżby się jakieś normy zmieniły?

Jeśli założyć jakiś dwójnik (element o dwóch zaciskach), do którego przyłożono napięcie o wartości chwilowej \(\displaystyle{ u(t)=U_m\sin\left( \omega t +\psi_u\right)}\), i które to napięcie wymusza przepływ prądu \(\displaystyle{ i(t)=I_m \sin\left( \omega t+\psi_i\right)}\) w tym dwójniku (przy odpowiednim zastrzałkowaniu napięć i prądów; w końcu trzeba się umówić kiedy prąd/napięcie traktujemy jako dodatnie a kiedy jako ujemne - stąd to strzałkowanie; kiedyś o konwencji strzałkowania już dyskutowaliśmy ) to wartość mocy chwilowej \(\displaystyle{ p(t)}\) wynosi:

\(\displaystyle{ p(t)=u(t) \cdot i(t)}\)

Energia elektryczna \(\displaystyle{ W_T}\) dostarczona do dwójnika w ciągu jednego okresu \(\displaystyle{ T}\) napięcia (prądu) \(\displaystyle{ T=\frac{2 \pi }{\omega}}\)
wynosi:
\(\displaystyle{ W_T=\int\limits_{t_o}^{t_o+T}p(t)dt}\)

Moc czynną \(\displaystyle{ P}\) liczymy jako wartość średnią mocy chwilowej \(\displaystyle{ p(t)}\) liczonej za okres \(\displaystyle{ T}\):

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{T} \int\limits_{t_o}^{t_o+T}p(t)dt=\frac{U_mI_m}{T}\int\limits_{t_o}^{t_o+T}\sin\left( \omega t+\psi_i\right) \sin\left( \omega t +\psi_u\right)dt=\\=\frac{U_mI_m}{T}\int\limits_{t_o}^{t_o+T} \frac{1}{2}\left[ \cos\left( \psi_u-\psi_i\right)-\cos\left( 2\omega t +\psi_u+\psi_i\right)\right] dt=\frac{U_mI_m}{T} \cdot \frac{1}{2} \cos\left( \psi_u-\psi_i\right) \int\limits_{t_o}^{t_o+T}dt=\\=\frac{1}{2}U_mI_m\cos\left( \psi_u-\psi_i\right)}\)

Różnicę \(\displaystyle{ \psi_u-\psi_i}\) oznacza się specjalnym symbolem \(\displaystyle{ \varphi}\):

\(\displaystyle{ \varphi=\psi_u-\psi_i}\)

Zatem: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}U_mI_m\cos \varphi=\frac{U_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}}\cos \varphi=UI \cos \varphi}\)

\(\displaystyle{ U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}, \ I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}}\) - wartości skuteczne napięcia i prądu

Impedancję zespoloną \(\displaystyle{ \underline{Z}}\) naszego dwójnika określamy jako:

\(\displaystyle{ \underline{Z}=\frac{\underline{U}}{\underline{I}}=\frac{U e^{j\psi_u}}{Ie^{j\psi_i}}=\frac{U}{I}e^{j\left( \psi_u-\psi_i\right) }=Ze^{j \varphi }}\) gdzie: \(\displaystyle{ Z=\frac{U}{I}}\)

Mamy już zdefiniowaną moc czynną \(\displaystyle{ P=UI \cos \varphi}\). Teraz pora na moc bierną \(\displaystyle{ Q}\). Definiujemy ją dla obwodów liniowych prądu sinusoidalnie zmiennego jako:

\(\displaystyle{ Q=UI\sin \varphi}\)

...zaś moc pozorną \(\displaystyle{ S}\) jako:

\(\displaystyle{ S=UI}\).

Definiuje się moc pozorną zespoloną \(\displaystyle{ \underline{S}}\) jako:

\(\displaystyle{ \underline{S}=P+jQ}\)

Przy powyższych definicjach formułujemy twierdzenie:
\(\displaystyle{ \underline{S}=\underline{U} \ \underline{I}^*}\)

Dowód tego twierdzenia:

\(\displaystyle{ \underline{U} \ \underline{I}^{*}=U e^{j\psi_u} \cdot \left(Ie^{j\psi_i}
\right)^{*} =UIe^{j\psi_u}e^{-j\psi_i}=UIe^{j\left( \psi_u-\psi_i\right) }=UIe^{j\varphi}=\\=Se^{j\varphi}=S\cos \varphi+jS\sin \varphi=P+jQ=\underline{S}}\)
Koniec dowodu.

Naturalnie ze związku: \(\displaystyle{ \underline{S}=P+jQ}\) wynika, że:

\(\displaystyle{ S=\sqrt{P^2+Q^2}}\)

Czy wszystko jasne?
Powiedz Ser Cubus jakiego podręcznika do teorii obwodów używasz?

[Ser Cubus]

wykłady + kursy edX do pownego zakresu. Z tym, że normalnie przerobiłem tylko podstawy, dalej już raczej chaotycznie, ze względu na to, że dzisiaj egzamin.

dobrze odczytałeś znaczenie \(\displaystyle{ \hat{I}}\)

-- 9 wrz 2013, o 10:17 --

mógłbyś jeszcze mi powiedzieć co się stało w dwóch ostatnich linijkach w mianowniku? Nie mogę tego rozgryźć

[mdd]

mógłbyś jeszcze mi powiedzieć co sięstało w dwóch ostatnich linijakch w mianowniku? Nie mogę tego rozgryść

Ja też nie Co oznacza symbol \(\displaystyle{ \widehat{E^2}}\)? Za dużo tam zagadek dla mnie. Na pewno to jest dobrze przepisane?
Może podaj treść zadania to obliczymy po swojemu i rozgryziemy

Co do podręczników z teorii obwodów to podręcznik Bolkowskiego jest klasyką, ale wg mnie brak tam ciekawych przykładów obliczeniowych... w końcu to nie zbiór zadań... trzeba jeszcze po inne książki sięgać żeby "być w komplecie".

[Ser Cubus]

olśniło mnie po drodze na egzamin

jeżeli
\(\displaystyle{ S = 0.5 \hat{I}^* \hat{U}\\
\hat{I} = \frac{ \hat{E}}{ Z_0+Z_1}\\
\hat{U} = \frac{ \hat{U} Z_0}{ Z_0 + Z_1}}\)
gdzie gwiazdka oznacza sprzężenie, tyczy ono się licznika i mianownika. Tak więc w mianowniku dodano do siebie części rzeczywiste i urojone konduktacji

\(\displaystyle{ Z_0+Z_1 = Z = a + ib\\
a = R_0 + R_2\\
b = X_2+X\\
Z \cdot \overline{Z} = |Z|\\
|Z| = \sqrt{a^2+b^2}}\)

ten moduł podnosimy do kwadratu więc mamy częśc rzeczywistą do kwadratu dodać część urojoną do kwadratu

co do oznaczania \(\displaystyle{ \hat{A}}\), znaczy ono tyle, że
\(\displaystyle{ a(t) = C \cos (n t + \phi)\\
\hat{A} = Ce^{i \phi}}\)

i dopiero teraz zauważyłem, że w pierwszym poście błędnie przepisałem w równaniu prądu \(\displaystyle{ Z_0}\), tego tam nie powinno być. Mogło Cię to wprowadzić w błąd

[wilkunek]

A ja mam ciekawe pytanie: po co sprzęga się liczby zespolone i jakie wymierne korzyści w obliczeniach w życiu się ze sprzęgania otrzymuje? Nie mogę akurat tej informacji nigdzie znaleźć poza informacjami, że to jest sztuka dla sztuki.