Podnoszenie liczb zespolonych do wysokich potęg

[Patrycjaa5]

Witam,

Proszę o pomoc w wyszukaniu błędu/sprawdzeniu wykonanych przeze mnie zadaniach. W przykładzie 1), wyszło mi -1, jednak w odpowiedziach jest +1. Gdzie popełniłam błąd?

1)
\(\displaystyle{ { \left( - \frac{1}{2} + i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) }^3}\)
\(\displaystyle{ z= - \frac{1}{2} + i \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\)
\(\displaystyle{ z^3=1^3 \left( \cos \cdot 3 \cdot \frac{ \pi }{3} + i\sin \cdot 3 \cdot \frac{ \pi }{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z^3=1 \left( \cos \pi + i\sin \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z^3=1 \left( -1+0i \right)}\)
\(\displaystyle{ z^3=-1}\)
W przykładzie 2 nie potrafię do końca tego matematycznie policzyć:
2)
\(\displaystyle{ \left( 1+i \right)^{27}\\
\left| z\right|= \sqrt{2} \\
\cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}\\
\sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}\\
\\
z^{27}= \sqrt{2}^{27} \cdot \left( \cos \cdot 27 \cdot \frac{ \pi }{4} \right)+ i\sin \cdot 27 \cdot \frac{ \pi }{4} \right) \\
z^{27}= \sqrt{2}^{27} \cdot \left( \cos \left( 6 \pi + \frac{3}{4} \pi \right) +i\sin \left( 6 \pi + \frac{3}{4} \pi \right) \\
z^{27}= \sqrt{2} ^{27} \cdot \left( - \frac{ \sqrt{2} }{2}+ i\frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\)

W przykładzie 3, proszę tylko o sprawdzenie:

3)
\(\displaystyle{ \left( -1-i \right) ^{12}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ z ^{12}= \sqrt{2} ^{12} \cdot \left( \cos \cdot 12 \cdot \frac{ \pi }{4} + i\sin \cdot 12 \cdot \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ z ^{12}= 64 \left( \cos 3 \pi + i\sin 3 \pi}\)
\(\displaystyle{ z ^{12}= 64 \left( \cos \left( 2 \pi + \pi \right) + i\sin \left( 2 \pi + \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z ^{12}= 64 \left( \cos \pi +i\sin \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z ^{12}=64 \left( \cos \left( \pi -0 \right) + i\sin \left( \pi -0 \right)}\)
\(\displaystyle{ z ^{12}= 64 \left( -1+0i \right)}\)

Dziękuję serdecznie za pomoc

[Gouranga]

nieczytelne zapiski + serwer obrazków wymusza wyświetlanie reklam, zmień to a najlepiej zapisz swoje obliczenia tu w tex'u

[Patrycjaa5]

poprawione

[dulcemaria94]

Przejrzalam drugi przykład i wydaje mi się ok. Wyjdzie 0.

[Patrycjaa5]

właśnie w tym drugim odpowiedź jest następująca: -8192+8192i , tak jest w odpowiedziach

[dulcemaria94]

W pierwszym przykładzie kąt wyszedł mi się nie zgadza. Wg mnie będzie \(\displaystyle{ \frac{5}{6} \pi}\)... sprawdź wartości sinusa i cosinusa.

[Gouranga]

wygląda ok, z tym że dla \(\displaystyle{ z=-1-i,\ \alpha = \frac{5}{4}\pi}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{4}\pi}\) co tu akurat nic nie zmienia, ale sam fakt.

[Patrycjaa5]

Gouranga, faktycznie, bo wektor będzie w 3ciej ćwiartce. dziękuję

Mam jeszcze pytanie odnośnie tego przykładu, skoro zostało mi po skróceniu \(\displaystyle{ \pi}\) , to mogę wybrać sama, czy skorzystam ze wzoru na \(\displaystyle{ \alpha}\) , dla ćwiartki II \(\displaystyle{ ( \pi - \alpha )}\), czy ćwiartki III\(\displaystyle{ ( \pi + \alpha )}\) ? Bo w konsekwencji w wyniku robi to różnicę w znaku.