Równanie w liczbach zespolonych

[cezarg1410]

mam takie zadanie:
Ile rozwiązań ma równanie \(\displaystyle{ z^{6}= \overline{z}}\)

Nie mam pojęcia jak się za to wziąć...

[yorgin]

Skorzystaj z podobnego zadania: 341991.htm

[cezarg1410]

trochę to skomplikowane miałem nadzieję, że jest jakieś szybsze rozwiązanie.
spróbowałem zapisać coś takiego:
\(\displaystyle{ z^{6} \cdot z = \overline{z} \cdot z}\)
czyli:
\(\displaystyle{ z^7 = |z^{2}|}\)
czyli:
\(\displaystyle{ |z^{7}| \cdot (\cos 7 \alpha +j\sin 7 \alpha )= | z^{2}|}\)
czy w ten sposób do czegoś dojdę?

[yorgin]

Dojdziesz, do prawidłowego rozwiązania.

Zauważ, że \(\displaystyle{ z=0}\) spełnia, wydziel następnie przez \(\displaystyle{ |z|^2}\) i zauważ, że musi być \(\displaystyle{ |z|=\ldots}\).

Z tego zostanie Ci tylko

\(\displaystyle{ \cos 7\alpha+i\sin7\alpha=1}\)

Rozwiązania tego są łatwe do wyznaczenia.

[cezarg1410]

dalej zapisuję to co zapisałeś i przekształcam:
\(\displaystyle{ (\cos \alpha+i\sin\alpha)^{7} =1}\)
z tego mam 7 rozwiązań plus ósme zerowe...
dobrze rozumiem?

[yorgin]

Dobrze. Moje rachunki dawały taki sam wynik.