Równanie w ciele liczb zespolonych

[bolokantak]

A nawet dwa.

Oba są z egzaminów, więc muszą być w miarę rozwiązywalne i to w miarę szybko, niestety nie jestem w stanie się z nimi uporać.

1. \(\displaystyle{ i\overline{z}^{4}z^{2}=-4|z|^{2}\newline}\)
Próbowałem tutaj rozpisywania zarówno z postaci wykładniczej, jak i trygonometrycznej. W tym pierwszym dobrnąłem do tego, że dla \(\displaystyle{ z=0}\) się będzie zgadzać, a w drugiej, że \(\displaystyle{ \letf(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)\right)<0}\), co mi też niespecjalnie dało cokolwiek.

2. \(\displaystyle{ \overline{z}^{6}=-8z|z|\overline{z}\newline}\)
Tutaj z kolei udało mi się (dla odmiany ) ustalić, że spełnione dla \(\displaystyle{ z=0}\).
Dla pozostałych walczyłem zarówno postacią wykładniczą, jak i trygonometryczną, robiłem podstawienia \(\displaystyle{ \overline{z}^{3}=t}\), ale nie doprowadziło mnie to do niczego sensownego, więc nawet nie będę tutaj zaśmiecał tymi "wynikami" forum.

A jak wolphram ułatwiał mi nieco życie i dało się zmiarkować, choćby po samych wynikach, co będzie, tutaj absolutnie nie mam pojęcia skąd mu się co bierze. Toteż zdesperowany zgłaszam się tutaj z nadzieją na jakiekolwiek chociaż wskazówki. Nawet jak tego typu zadania wyszukać, bo google przez pierwsze 4 strony na polecenie "(rozwiąż) równania w ciele liczb zespolonych site:matematyka.pl" wyrzuca same równania z wielomianami, co pomocne w tym wypadku nie jest ani trochę.

Pozdrawiam, Bolo.

[yorgin]

W obu przypadkach wykorzystaj fakt, iż \(\displaystyle{ z\overline{z}=|z|^2}\).

[bolokantak]

Fakt, pierwsze elegancko się w ten sposób rozwiązało, dzięki wielkie.

Jednak z drugim dalej nie wiem, co zrobić, bo zostaję z:
\(\displaystyle{ \overline{z}^{6}=-8|z|^3}\), do czego doprowadziłem już wcześniej, ale dalej nie wychodzi mi z tego nic, co by mogło być choćby zbliżone do rozwiązania. Wyłączanie w formie wykładniczej/trygonometrycznej modułów nie daje mi potem powrócić na postać algebraiczną (w której muszę zapisać wynik), a w innym wypadku nie mam wizji na to zadanie... Podstawianie za \(\displaystyle{ z}\) też mnie zaprowadziło donikąd niestety.

[yorgin]

Zauważ, że \(\displaystyle{ |z|=|\overline{z}|}\), więc można podstawić \(\displaystyle{ w=\overline{z}}\) i dostać równanie

\(\displaystyle{ w^6=-8|w|^3}\)

Dalej powinno wystarczyć przejście na postać wykładniczą.

[bolokantak]

Ok, kombinuję dalej.
Rozpisałem:
\(\displaystyle{ w^6e^{i\phi}-8|w|^3=0\newline}\)
Dalej rozłożyłem to z wzorów skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (a^3-b^3)}\) i mam:
\(\displaystyle{ w^2-2|w|=0}\) i nie wiem, co z tym dalej ciągnąć (przy zamianie na postać wykładniczą i wyciągnięciu \(\displaystyle{ |w|}\) nie będę mógł tego odwrócić, a muszę, bo wynik ma być w postaci wykładniczej)
oraz druga część wzoru:
\(\displaystyle{ |w|^4e^{4i\phi}+2|w|^3e^{2i\phi}+4|w|^2=0}\), którego też nie mogę rozebrać dalej tak, by potem powrócić na postać algebraiczną.
Nie będzie nadużyciem jeśli poproszę o trochę agresywniejszą wskazówkę? Bo zwinięcie do algebraicznej w drugiej części tez mi nie dało niczego, z czym mógłbym powalczyć niestety.

[yorgin]

Niech \(\displaystyle{ w=re^{it}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ |w|=r, w^6=r^6e^{6it}}\)

Mamy równanie \(\displaystyle{ r^6e^{6it}=-8r^3}\)

Przekształcamy: \(\displaystyle{ r^3(r^3e^{6it}+8)=0}\)

Teraz powinno być łatwo.

Nie wiem, jak wygodna jest dla Ciebie postać wykładnicza, ale ja ją wprost uwielbiam przy prostych równaniach

[bolokantak]

No cóż, jeśli dalej ma być łatwo to niech mnie diabli, bo tę trudną część sam wyprowadziłem i właśnie od tego miejsca nie wiem, co zrobić, bo jest \(\displaystyle{ r^3}\), a przy \(\displaystyle{ e}\) stoi potęga 6. To jest główny problem w tym przykładzie, resztę opanowałem. Właśnie dlatego pisałem, że nie mogę na nic sensownego przekształcić, bo mi nie daje się potem złożyć.
Swoją drogą postać wykładniczą uważam za najwygodniejszą. Najmniej pisania i nie ma przekształceń trygonometrycznych

[yorgin]

Masz \(\displaystyle{ r^3e^{6it}=-8}\)

Musi być \(\displaystyle{ e^{6it}=+1 \vee e^{6it}=-1}\)

Co daje dwie opcje, odpowiednio: \(\displaystyle{ r=-2 \vee r=2}\).

Rozwiązanie \(\displaystyle{ e^{6it}=+1 \vee e^{6it}=-1}\) pozostawiam Tobie Pamiętaj, że każde z tych dwóch równań ma \(\displaystyle{ 6}\) rozwiązań. Możesz je wyznaczy w sposób analogiczny do wzoru de Moivre'a.

[bolokantak]

Ok, dzięki wielkie za pomoc!