Zaznaczyć na płaszczyźnie

[Giorgio2]

Witam,potrzebuję pomocy z tym zadaniem.
Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \arg(z-2+3i) ^{4} \in ( \frac{1}{2} \pi , \pi ) \\ \left| z-2+3i\right| \le 3\end{cases}}\)

Z góry dziękuje za pomoc.
Pozdrawiam.

[janusz47]

Z własności argumentu liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \arg(z^{n})=n\cdot arg(z)+ 2k\cdot \pi, k\in Z}\)
\(\displaystyle{ \arg(z -(2-3i)) \in\left( \frac{\pi}{8}+k\cdot \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}+k\cdot \frac{\pi}{2}, k\in Z \right)}\) (1)

Kładąc \(\displaystyle{ z = x+iy}\) i korzystając z definicji modułu liczby zespolonej \(\displaystyle{ (x-2) +(y+3)i}\), otrzymujemy nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^{2}+(y+3)^{2}}\le 3}\) (2)

Na płaszczyźnie Gaussa część wspólna (1), (2) jest wycinkiem koła z brzegiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ (2, -3)}\), promieniu długości 3 oraz kącie środkowym \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{4}+\frac{3}{2}\pi - ( \frac{\pi}{8}+\frac{3}{2}\pi )= \frac{\pi}{8}.}\) zawartym między promieniami narysowanymi linią przerywaną i łukiem narysowanym linią ciągłą.

[Giorgio2]

Dzięki wielkie za odpowiedź.Jednak nie rozumiem jednego przejscia \(\displaystyle{ \arg(z -(2-3i)) \in\left( \frac{\pi}{8}+k\cdot \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}+k\cdot \frac{\pi}{2}, k\in Z \right) (1)}\) ,a dokładnie skąd te kąty . I czy 2-3i nie ma żadnego wpływu na to jak beda te kąty wygladać? Pozdrawiam.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \arg(z -(2-3i))^{4}\in \left( \frac{1}{2}\pi, \pi\right)}\)
\(\displaystyle{ 4(\arg(z-(2-3i))\in \left( \frac{1}{2}\pi +2k\cdot \pi, \pi +2k\cdot \pi \right)}\)
Dzielimy końce przedziału przez 4
\(\displaystyle{ (\arg(z-(2-3i))\in \left( \frac{1}{8}\pi +k\cdot \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} +k\cdot \frac{\pi}{2}, k\in Z \right)}\)
Z punktu o współrzędnych \(\displaystyle{ (2, -3)}\)- środka koła prowadzimy dwa przerywane promienie pod kątami odpowiednio
\(\displaystyle{ \frac{1}{8}\pi +3\cdot \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} +3\cdot \frac{\pi}{2}.}\)

[Giorgio2]

O ,teraz to wiem o co chodzi
Dziękuje bardzo za pomoc,pozdrawiam.