Pierwiastek z liczby zespolonej a postać wykładnicza

[bolokantak]

Problem wygląda następująco: należy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z^{6}-3iz^{3}+4=0}\). Wynik należy przedstawić w postaci trygonometrycznej (chyba mam) i wykładniczej (definitywnie nie mam ).

Wykładnicza, po dość długiej walce z podstawieniami (dla \(\displaystyle{ t=z^{3}: t_{1}=-i}\), \(\displaystyle{ t_{2}=4i}\)) udało mi się dojść do postaci trygonometrycznych ze wzorów de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z_{t1_{0}}= \sqrt[3]{1} \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) + i\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right) \newline
z_{t1_{1}}= \sqrt[3]{1} \left( \cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) + i\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \right) \newline
z_{t1_{2}}= \sqrt[3]{1} \left( \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) + i\sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) \right) \newline
z_{t2_{0}}= \sqrt[3]{4} \left( \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) + i\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right) \newline
z_{t3_{1}}= \sqrt[3]{4} \left( \cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) + i\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \right) \newline
z_{t4_{2}}= \sqrt[3]{4} \left( \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) + i\sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) \right)}\)

Teraz tylko szybkie dwa pytania:
1. Czy (i najlepiej jakieś wskazówki jak to ewentualnie zrobić) da się to zapisać w postaci wykładniczej bezpośrednio z tego, czy trzeba pruć sobie żyły z przerzutem na algebraiczną?
2. Czy się czasem gdzieś nie pomyliłem w tak zwanym międzyczasie?

Z góry dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam, Bolo.

[Igor V]

Obliczeń nie patrzyłem,a co do pytania o przerzucanie,to nie trzeba na algebraiczną
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)}\)-postać trygonometryczna
\(\displaystyle{ z=|z|e ^{i\alpha}}\)-postać wykładnicza
A przypadkiem na początku nie robiłeś z algebraicznej na trygonometryczną ?

[bolokantak]

Dobra, wszystko fajnie, ale \(\displaystyle{ z_{t1_{1}}}\) itd. są w postać \(\displaystyle{ \sqrt[n]{|z|} \left( \cos \left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{n} \right) \right)}\), a nie \(\displaystyle{ |z| \left( \cos \left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{n} \right) \right)}\).
Czy to czasem nie przysparza problemów z modułem?

Co do przejść na trygonometryczną - fakt, ale nadal miałem tylko zmienną pomocniczą w postaci algebraicznej (tj. \(\displaystyle{ t=z^{3}: t_{1}=-i}\), \(\displaystyle{ t_{2}=4i}\)), a nie samo \(\displaystyle{ z}\).

(Sprawdzanie obliczeń akurat jest moim najmniejszym w tej chwili problemem, raczej chodzi o sposób rozwiązania tego).

[Igor V]

Ale nie o to chodzi.Jak spierwiastkowałeś rozwiązania tego równania kwadratowego to otrzymałeś jakieś inne liczby zespolone w postaci trygonometrycznej.I dopiero te liczb trzeba przedstawić w postaci wykładniczej.Np:te pierwiastki z modułu są modułami tych nowych liczb.

[bolokantak]

Rozumiem, faktycznie, jeśli to tak wygląda, to ma to sens. Czyli (tak tylko gwoli ścisłości i ostatecznego zrozumienia) postać wykładnicza pierwszej z liczb \(\displaystyle{ z_{t1_{0}}}\) będzie wyglądać:
\(\displaystyle{ z_{t1_{0}}=|\sqrt[3]{1}|e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{i\frac{\pi}{6}}}\)?

[Msciwoj]

Nie przysparza, bo moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą.

[Igor V]

bolokantak ,tak
Msciwoj,tutaj sprawa nie rozbijała się nam o to że moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą,a raczej o to że liczba i jej pierwiastek to nie te same liczby (poza szczególnym przypadkiem)

[bolokantak]

Ok, w takim razie dzięki za pomoc U made my day etc.
Mam nadzieję, ze komuś oprócz mnie tez się w przyszłości przyda, bo teorię niestety mam tak napisaną, że nie powiem, o czego kant rozbić...