Zapisać liczbę w postaci algebraicznej.

[skandal89]

Witam ogarniam właśnie liczby zespolone, mam kilka przykładów z pierwszego terminu egzaminu, we wrześniu mają pojawić się podobne zadanka.

Mam zapisać liczbę w postaci algebraicznej:

\(\displaystyle{ \left( 3-2i\right)i+\left( 1-i \sqrt{3} \right) ^{6}}\)


\(\displaystyle{ \frac{i-2}{i} + \left( -1+i \sqrt{3} \right) ^{6}}\)

Mam takie dwa przykłady i nie bardzo wiem jak je ugryźć, czy mam tu korzystać w jakiś sposób z równań, potęg i pierwiastków czy to jest łatwiejsze niż mi się wydaje, czy może pomyliłem wszystko, był bym bardzo wdzięczny za nakierowanie mnie na właściwy tor działań.

[MakCis]

Myślę, że wzory de'Moivrea mogą się przydać.

[skandal89]

A czy nie są to wzory na postać trygonometryczną?

[mechatronik300]

Są ale dzięki nim łatwiej można poradzić sobie z podnoszeniem do potęgi takich wyrażeń jakie podałeś

[Wojteg]

Zauważ, że \(\displaystyle{ {\left( {1 - i\sqrt 3 } \right)^6} = {\left[ {{{\left( {1 - i\sqrt 3 } \right)}^2}} \right]^3}}\)
Dalej to już łatwo, drugie analogicznie

[skandal89]

Czyli w pierwszym przykładzie najpierw muszę przemnożyć nawias przez i, następnie pamiętać o tym, że \(\displaystyle{ i ^{2}}\) to -1 a następnie podnieść drugi nawias do potęgi i zsumować wyniki? Czy drugi nawias mogę rozbić w taki sposób? :

\(\displaystyle{ \left[ \left( 1-i \sqrt{3} \right) ^{2} \right] ^{3}}\)

i zastosować wzór skróconego mnożenia? Czy to mi nic nie da?

Co z drugim przykładem czy można zacząć w taki sposób? :

\(\displaystyle{ \frac{i}{i} - \frac{2}{i}}\)

[Wojteg]

Tak

[skandal89]

Więc mam tak :

\(\displaystyle{ 3i - 2i ^{2} + \left[ \left( 1-i \sqrt{3} \right) ^{2} \right] ^{3} = 3i + 2 + \left( 1-2i \sqrt{3}+3 \right) ^{3}}\)

To dobrze czy źle? I co dalej?

[Wojteg]

Źle podniosłeś do kwadratu powinno być \(\displaystyle{ \[{\left( {1 - 2\sqrt 3 i - 3} \right)^3}\]}\)

[skandal89]

Czyli na razie idzie dobrze , teraz co zrobić aby pozbyc sie pierwiastka? Trzecią potęgę rozbic jeszcze na dwa nawiasy? Czy muszę juz podnieść ten nawias do 3 potęgi?

[Wojteg]

\(\displaystyle{ \[{\left( {1 - 2\sqrt 3 i - 3} \right)^3} = {\left( { - 2 - 2\sqrt 3 i} \right)^3}\]}\)

Dalej potęgujesz

[skandal89]

Czyli teraz uporządkowałes nawias? Jak to potegowac, chodzi mi o ten pierwiastek, czy moze moge zastosowac znow wzór skróconego mnożenia?

[Wojteg]

Tak, \(\displaystyle{ \[{(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\]}\)

[Gouranga]

musisz zawsze pamiętać, że mnożenie liczb zespolonych jak i podnoszenie ich do potęg niczym się w praktyce nie różni od mnożenia przez siebie nawiasów tylko musisz pamiętać \(\displaystyle{ i^2 = -1}\)

[skandal89]

Dzięki wielkie za dotychczasową pomoc, narazie nie rusze dalej bo musialem jechać do pracy i piszę z telefonu. Mam jednak wątpliwości czy poradzę sobie z tym pierwiastkiem, bo licze sobie to na boku w zeszycie i chyba mi tu głupoty wychodzą...