Zapisać liczbę w postaci algebraicznej.

[bakala12]

Źle podniosłeś do kwadratu powinno być \(\displaystyle{ \left( {1 - 2\sqrt 3 i - 3} \right)^{3}}\)

Sprawdzajcie się. Było dobrze

\(\displaystyle{ 3i - 2i ^{2} + \left[ \left( 1-i \sqrt{3} \right) ^{2} \right] ^{3} = 3i + 2 + \left( 1-2i \sqrt{3}+3 \right) ^{3}}\)

To jest ok.

[Msciwoj]

Można prościej.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}}\), oraz \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ (1 + i \sqrt{3})^{6} = 2^{6} (\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})^{6} = 2^{6} (\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = 2^{6}}\).
Zgodnie ze wzorem de Moivre'a.
Zgodnie z prawem sprzężenia:
\(\displaystyle{ (1 - i \sqrt{3})^{6} = 2^{6}}\)
Oraz \(\displaystyle{ (-1 + i \sqrt{3})^{6} =(-1)^{6}= (1 - i \sqrt{3})^{6} = 2^{6}}\).
Reszta pójdzie szybko.

[Gouranga]

bakala12, źle było
\(\displaystyle{ \left(1-i\sqrt{3}\right)^2 = 1^2 -2\cdot 1\cdot i\sqrt{3} + (i\sqrt{3})^2 = 1 - 2i\sqrt{3} -3}\)

ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ (i\sqrt{a})^2 = i^2 \cdot \sqrt{a}^2 = -1\cdot a = -a}\)

[bakala12]

Gouranga, no teraz to chyba zasłużyłem na owację na stojąco
Wyszło na to że nie znam wzorów skróconego mnożenia Usuwam się w cień, bo wychodzi na to że jak się odzywam to głupoty piszę. W każdym razie dziękuję za zwrócenie uwagi i postaram się nie popełniać już takich gaf Przepraszam za zamęt.

[Wojteg]

Każdemu się zdarza

[skandal89]

Witam ponownie, dziękuje użytkownikowi Msciwoj za pokazanie drugiego sposobu, jednak niestety nic z niego nie rozumiem...


Mam do tej pory taką postać drugiego nawiasu:


\(\displaystyle{ \left( -2 -2 \sqrt{3i} \right) ^{3}}\)

Teraz nie bardzo wiem jak zastosować wzór skróconego mnożenia przez ten pierwiastek.

Wpadłem jeszcze na taki pomysł, ale nie wiem czy jest poprawny.

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}\right) ^{6} = 27}\)

więc gdybym nie rozbijał tej potęgi i nie wyciągał wzoru skróconego mnożenia to:

\(\displaystyle{ \left( 3-2i\right)i + \left( 1-i \sqrt{3} \right) ^{6} = 3i - 2i ^{2} + 1 - 27i = 3i + 2 + 1 - 27i = 3 - 24i}\)

Czy to może być coś takiego? Czy ktoś może przeliczyć to jakimś innym sposobem i porównać wynik?

[Wojteg]

\(\displaystyle{ \[{\left( { - 2 - 2\sqrt 3 i} \right)^3} = - {\left( {2 + 2\sqrt 3 i} \right)^3} = - \left( {8 + 24\sqrt 3 i - 72 - 24\sqrt 3 i} \right) = 64\]}\)

[bakala12]

\(\displaystyle{ \left( 3-2i\right)i + \left( 1-i \sqrt{3} \right) ^{6} = 3i - 2i ^{2} + 1 - 27i = 3i + 2 + 1 - 27i = 3 - 24i}\)

Wyszło Ci coś takiego:
\(\displaystyle{ \left( a-b\right)^{6}=a^{6}-b^{6}}\)
a to jest bzdura.
Możesz od razu podnieść do szóstej potęgi, ale według wzoru:
\(\displaystyle{ \left( a-b\right)^{6}=a^{6}-6a^{5}b+15a^{4}b^{2}-20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}-6ab^{5}+b^{6}}\)

[skandal89]

Czyli ostatecznie zadanie wyglądało by tak:


\(\displaystyle{ \left( 3-2i\right) i + \left( 1-i \sqrt{3} \right) ^{6} = 3i - 2i ^{2} + \left[ \left( 1-i \sqrt{3} \right) ^{2} \right] ^{3} = 3i + 2 + \left( 1-2 \sqrt{3i} -3 \right) ^{3} = 3i + 2 + \left( -2-2 \sqrt{3} \right) ^{3} = 3i +2 + \left[ -\left( 2+2 \sqrt{3i} \right) ^{3} \right] = 3i + 2 + \left[ -\left( 8+24 \sqrt{3i}-72-24 \sqrt{3i} \right) \right] = 3i+2-8-24 \sqrt{3i} + 72 +24 \sqrt{3i} = 3i + 66 = 66 +3i}\)

Jest dobrze czy coś pomieszałem?

[bakala12]

Wygląd ok. Z tym, że zamiast \(\displaystyle{ 24 \sqrt{3i}}\) powinno być \(\displaystyle{ 24i \sqrt{3}}\), ale to tak czy tak się skraca.

[skandal89]

Dziękuję wszystkim za pomoc Za klika minut rozwiążę sobie jeszcze resztę zadań z egzaminu i wstawię je tutaj do sprawdzenia, był bym wdzięczny gdybyście jeszcze na nie wtedy zerknęli.

Edit:


Mam teraz taki przykład:

\(\displaystyle{ \frac{-i + 3}{i} + \left( -i + \sqrt{6} \right) ^{6}}\)

Zaczynam tak:

\(\displaystyle{ = \frac{-i}{i} + \frac{3}{i} \left[ \left( -i + \sqrt{3} \right) ^{2} \right] ^3{} = \frac{-i}{i} + \frac{3}{i} + \left( 2-2i \sqrt{3} \right) ^{3} =}\)

I na tym stanąłem, po pierwsze pierwszy człon zadania czyli :

\(\displaystyle{ \frac{-i}{i} + \frac{3}{i} = ?}\)

trzeba tutaj zamienić mianownik na sprzężenie ?

\(\displaystyle{ \frac{-i + 3}{i + i} \cdot \frac{i - i}{i - i} = ?}\)

Edit 2:


\(\displaystyle{ = \frac{-i}{i} + \frac{3}{i} \left[ \left( -i + \sqrt{3} \right) ^{2} \right] ^3{} = \frac{-i}{i} + \frac{3}{i} + \left( 2-2i \sqrt{3} \right) ^{3} = \frac{-i}{i} + \frac{3}{i} + 8 -24 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} = \frac{-i}{i} + \frac{3}{i} +80 =}\)

I dalej nie wiem jak ugryźć lewą stronę, jak zrobię sprzężenie to mi się cała zeruje.

Edit 3:

Wykombinowałem tak, ale nie wiem czy dobrze:


\(\displaystyle{ \frac{-i + 3}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{-i ^{2} + 3 i}{i ^{2} } = -3i + 80 = 80 - 3i}\)

[Wojteg]

Mam teraz taki przykład:

\(\displaystyle{ \frac{-i + 3}{i} + \left( -i + \sqrt{6} \right) ^{6}}\)

Zaczynam tak:

\(\displaystyle{ = \frac{-i}{i} + \frac{3}{i} \left[ \left( -i + \sqrt{3} \right) ^{2} \right] ^3{} = \frac{-i}{i} + \frac{3}{i} + \left( 2-2i \sqrt{3} \right) ^{3}}\)

Chyba coś ci się pomieszało

\(\displaystyle{ \[\frac{{ - i + 3}}{i} + {\left( { - i + \sqrt 6 } \right)^6} = - 1 + \frac{3}{i} + {\left[ {{{\left( { - i + \sqrt 6 } \right)}^2}} \right]^3}\]}\)

[skandal89]

Nie bardzo kapuje skąd się to wzięło:

\(\displaystyle{ -1 + \frac{3}{i}}\)


Ja jeszcze robiłem to tak za pomocą sprzężenia, ale nie wiem czy to dobra metoda:

\(\displaystyle{ \frac{i-2}{i} = \frac{i}{i} - \frac{2}{i} = \frac{i-2}{i-i} \cdot \frac{i
+i}{i+i} = \frac{i ^{2} + i ^{2} - 2i - 2i }{i ^{2}+ i ^{2} -i ^{2} -i ^{2} } = -1 -1 -4i = -2 - 4i}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ \frac{i-2}{i-i}=\frac{i-2}{0}=?}\)

W dwóch ostatnich postach robisz cudaczne mnożenia przez pseudosprzężenia mające zera w mianowniku.

Dodatkowo wygląda na to, że dla Ciebie

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}}\).

[skandal89]

Właśnie o to chodzi, że nie bardzo wiem jak to zrobić, wiem, że to zapewne łatwe i kiedyś to umiałem, ale długo nie miałem styczności z Matematyką i oto efekty.