postać wykładnicz liczby zespolonej

[Simon86]

mam kalkulator który obsługuje liczby zespolone. Czasami muszę policzyć napięcia międzyfazowe na odbiorniku w sieci trójfazowej połączonej w gwiazdę. w polskiej sieci napięcie międzyfazowe sieci trójfazowej wynosi 400V. a każde z nich jest przesunięte o \(\displaystyle{ 120^{o}}\) w fazie.

np. \(\displaystyle{ 230e^{i90^{o}} - 230e^{-i30^{o}} = 398,371685...e^{i120^{o}} \approx 400e^{i120^{o}}}\)

no i się zgadza tylko jak mam to policzyć jak np. kalkulator wpadnie mi do oleju a komputer się spali i zostanie mi tylko kartka i długopis ;P

[robertm19]

Postać wykładnicza jest dana wzorem \(\displaystyle{ z=|z|e^{i\phi}=|z|(\cos(\phi+2k\pi)+\sin(\phi+2k\pi))}\). W przypadku kąta 120 i 30 stopni wartości sinusów i cosinusów są znane. Później bez kalkulatora ciężko

[Ser Cubus]

tablice maturalne

[Simon86]

No o już się przypominam co nieco dzięki robertm19, i chyba gdzieś jeszcze \(\displaystyle{ i}\) powinno być w tym wzorku chyba przed sinusem

[Ser Cubus]

tak, masz racje

[mdd]

W trakcie przekształcenia liczby zespolonej z postaci wykładniczej \(\displaystyle{ \underline{U}=Ue^{j\psi}}\) w algebraiczną \(\displaystyle{ \underline{U}=U\cos(\psi)+jU\sin(\psi)}\) potrzebne są wartości funkcji trygonometrycznych, które można uzyskać (oprócz tablic) z rozwinięcia tych funkcji w szeregi potęgowe (po uprzednim przeliczeniu stopni kątowych na radiany):

\(\displaystyle{ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots \\

\cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots \\}\)

Życzę wytrwałości w rachunkach "pod kreską"!

Druga metoda: możesz uzyskać wynik wykreślnie, sumując geometrycznie na papierze milimetrowym

[Simon86]

Postanowiłem się pobawić i trochę czasu na to zająć ;P

zamieńmy liczby \(\displaystyle{ a = 230e^{i90^{o}}}\) oraz \(\displaystyle{ b = 230e^{-i30^{o}}}\) na postać \(\displaystyle{ x + iy}\)

a)

\(\displaystyle{ \left|z\right| = 230}\)

ponieważ \(\displaystyle{ \phi = 90^{o}}\) to \(\displaystyle{ x = 0}\)

tak więc: \(\displaystyle{ a = 230e^{i90^{o}} = i230}\)

b) \(\displaystyle{ \left|z\right| = 230 = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)

ponieważ \(\displaystyle{ \phi = -30^{o}}\) także ta liczba \(\displaystyle{ z}\) będzie zawierać (w kartezjańskim układzie współrzędnych) zawierać się na pewno w prostej przechodzącej np. przez punkty: \(\displaystyle{ \left( 0, 0\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 3, -i \sqrt{3} \right)}\).

z układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x^{2} + y^{2}}=230\\y = - \frac{ \sqrt{3}}{3}x \end{cases}}\)

otrzymuję:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{230 \sqrt{3} }{2} \\y = -115 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ b = \frac{230 \sqrt{3} }{2} - i115}\)

chodzi mi cały czas o policzenie \(\displaystyle{ a- b}\)

więc liczymy:

\(\displaystyle{ i230 - \frac{230 \sqrt{3} }{2} + i115 = -\frac{230 \sqrt{3} }{2} + i345}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( -\frac{230 \sqrt{3} }{2}\right)^{2} + 345^{2} } \approx 400}\)

pozostał jeszcze argument liczby zespolonej \(\displaystyle{ \phi}\)

ponieważ \(\displaystyle{ \ tg \phi = \frac{y}{x}}\)

\(\displaystyle{ \phi = \ arctg\left( \frac{y}{x}\right) = \ arctg \left( \frac{345}{-\frac{230 \sqrt{3} }{2}}\right) = \ arctg \left( - \frac{3}{\sqrt{3}}\right) = -60^{o} + k\pi}\)

ale mamy ćwiartkę drugą więc \(\displaystyle{ \phi = -60^{o} + 180^{o} = 120^{o}}\)

i mam wynik taki jak na kalkulatorze


ale to to nie wiem do czego jest:

\(\displaystyle{ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots \\}\)

ktoś chyba mnie chciał nastraszyć ;P

[mdd]

ale to to nie wiem do czego jest:
\(\displaystyle{ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots \\}\)
ktoś chyba mnie chciał nastraszyć ;P

Najwyraźniej w swoich obliczeniach preferujesz "łatwe" kąty, przy których te wzory są całkowicie zbędne . "Nastraszyć" to ja chciałem pomysłem z papierem milimetrowym

[Ser Cubus]

rozwiń funkcję \(\displaystyle{ e^x}\) w szereg, to zobaczysz zależność. Jest to jeden z dowodów na to, że
\(\displaystyle{ e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi}\)