postać wykładnicz liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnowskie Góry
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 39 razy
postać wykładnicz liczby zespolonej
mam kalkulator który obsługuje liczby zespolone. Czasami muszę policzyć napięcia międzyfazowe na odbiorniku w sieci trójfazowej połączonej w gwiazdę. w polskiej sieci napięcie międzyfazowe sieci trójfazowej wynosi 400V. a każde z nich jest przesunięte o \(\displaystyle{ 120^{o}}\) w fazie.
np. \(\displaystyle{ 230e^{i90^{o}} - 230e^{-i30^{o}} = 398,371685...e^{i120^{o}} \approx 400e^{i120^{o}}}\)
no i się zgadza tylko jak mam to policzyć jak np. kalkulator wpadnie mi do oleju a komputer się spali i zostanie mi tylko kartka i długopis ;P
np. \(\displaystyle{ 230e^{i90^{o}} - 230e^{-i30^{o}} = 398,371685...e^{i120^{o}} \approx 400e^{i120^{o}}}\)
no i się zgadza tylko jak mam to policzyć jak np. kalkulator wpadnie mi do oleju a komputer się spali i zostanie mi tylko kartka i długopis ;P
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
postać wykładnicz liczby zespolonej
Postać wykładnicza jest dana wzorem \(\displaystyle{ z=|z|e^{i\phi}=|z|(\cos(\phi+2k\pi)+\sin(\phi+2k\pi))}\). W przypadku kąta 120 i 30 stopni wartości sinusów i cosinusów są znane. Później bez kalkulatora ciężko
-
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnowskie Góry
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 39 razy
postać wykładnicz liczby zespolonej
No o już się przypominam co nieco dzięki robertm19, i chyba gdzieś jeszcze \(\displaystyle{ i}\) powinno być w tym wzorku chyba przed sinusem
- mdd
- Użytkownik
- Posty: 1897
- Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 512 razy
postać wykładnicz liczby zespolonej
W trakcie przekształcenia liczby zespolonej z postaci wykładniczej \(\displaystyle{ \underline{U}=Ue^{j\psi}}\) w algebraiczną \(\displaystyle{ \underline{U}=U\cos(\psi)+jU\sin(\psi)}\) potrzebne są wartości funkcji trygonometrycznych, które można uzyskać (oprócz tablic) z rozwinięcia tych funkcji w szeregi potęgowe (po uprzednim przeliczeniu stopni kątowych na radiany):
\(\displaystyle{ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots \\
\cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots \\}\)
Życzę wytrwałości w rachunkach "pod kreską"!
Druga metoda: możesz uzyskać wynik wykreślnie, sumując geometrycznie na papierze milimetrowym
\(\displaystyle{ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots \\
\cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots \\}\)
Życzę wytrwałości w rachunkach "pod kreską"!
Druga metoda: możesz uzyskać wynik wykreślnie, sumując geometrycznie na papierze milimetrowym
-
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 28 sie 2010, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnowskie Góry
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 39 razy
postać wykładnicz liczby zespolonej
Postanowiłem się pobawić i trochę czasu na to zająć ;P
zamieńmy liczby \(\displaystyle{ a = 230e^{i90^{o}}}\) oraz \(\displaystyle{ b = 230e^{-i30^{o}}}\) na postać \(\displaystyle{ x + iy}\)
a)
\(\displaystyle{ \left|z\right| = 230}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \phi = 90^{o}}\) to \(\displaystyle{ x = 0}\)
tak więc: \(\displaystyle{ a = 230e^{i90^{o}} = i230}\)
b) \(\displaystyle{ \left|z\right| = 230 = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \phi = -30^{o}}\) także ta liczba \(\displaystyle{ z}\) będzie zawierać (w kartezjańskim układzie współrzędnych) zawierać się na pewno w prostej przechodzącej np. przez punkty: \(\displaystyle{ \left( 0, 0\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 3, -i \sqrt{3} \right)}\).
z układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x^{2} + y^{2}}=230\\y = - \frac{ \sqrt{3}}{3}x \end{cases}}\)
otrzymuję:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{230 \sqrt{3} }{2} \\y = -115 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{230 \sqrt{3} }{2} - i115}\)
chodzi mi cały czas o policzenie \(\displaystyle{ a- b}\)
więc liczymy:
\(\displaystyle{ i230 - \frac{230 \sqrt{3} }{2} + i115 = -\frac{230 \sqrt{3} }{2} + i345}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( -\frac{230 \sqrt{3} }{2}\right)^{2} + 345^{2} } \approx 400}\)
pozostał jeszcze argument liczby zespolonej \(\displaystyle{ \phi}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \ tg \phi = \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \ arctg\left( \frac{y}{x}\right) = \ arctg \left( \frac{345}{-\frac{230 \sqrt{3} }{2}}\right) = \ arctg \left( - \frac{3}{\sqrt{3}}\right) = -60^{o} + k\pi}\)
ale mamy ćwiartkę drugą więc \(\displaystyle{ \phi = -60^{o} + 180^{o} = 120^{o}}\)
i mam wynik taki jak na kalkulatorze
ale to to nie wiem do czego jest:
\(\displaystyle{ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots \\}\)
ktoś chyba mnie chciał nastraszyć ;P
zamieńmy liczby \(\displaystyle{ a = 230e^{i90^{o}}}\) oraz \(\displaystyle{ b = 230e^{-i30^{o}}}\) na postać \(\displaystyle{ x + iy}\)
a)
\(\displaystyle{ \left|z\right| = 230}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \phi = 90^{o}}\) to \(\displaystyle{ x = 0}\)
tak więc: \(\displaystyle{ a = 230e^{i90^{o}} = i230}\)
b) \(\displaystyle{ \left|z\right| = 230 = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \phi = -30^{o}}\) także ta liczba \(\displaystyle{ z}\) będzie zawierać (w kartezjańskim układzie współrzędnych) zawierać się na pewno w prostej przechodzącej np. przez punkty: \(\displaystyle{ \left( 0, 0\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 3, -i \sqrt{3} \right)}\).
z układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x^{2} + y^{2}}=230\\y = - \frac{ \sqrt{3}}{3}x \end{cases}}\)
otrzymuję:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{230 \sqrt{3} }{2} \\y = -115 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{230 \sqrt{3} }{2} - i115}\)
chodzi mi cały czas o policzenie \(\displaystyle{ a- b}\)
więc liczymy:
\(\displaystyle{ i230 - \frac{230 \sqrt{3} }{2} + i115 = -\frac{230 \sqrt{3} }{2} + i345}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( -\frac{230 \sqrt{3} }{2}\right)^{2} + 345^{2} } \approx 400}\)
pozostał jeszcze argument liczby zespolonej \(\displaystyle{ \phi}\)
ponieważ \(\displaystyle{ \ tg \phi = \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \phi = \ arctg\left( \frac{y}{x}\right) = \ arctg \left( \frac{345}{-\frac{230 \sqrt{3} }{2}}\right) = \ arctg \left( - \frac{3}{\sqrt{3}}\right) = -60^{o} + k\pi}\)
ale mamy ćwiartkę drugą więc \(\displaystyle{ \phi = -60^{o} + 180^{o} = 120^{o}}\)
i mam wynik taki jak na kalkulatorze
ale to to nie wiem do czego jest:
\(\displaystyle{ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots \\}\)
ktoś chyba mnie chciał nastraszyć ;P
- mdd
- Użytkownik
- Posty: 1897
- Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 512 razy
postać wykładnicz liczby zespolonej
Najwyraźniej w swoich obliczeniach preferujesz "łatwe" kąty, przy których te wzory są całkowicie zbędne . "Nastraszyć" to ja chciałem pomysłem z papierem milimetrowymSimon86 pisze: ale to to nie wiem do czego jest:
\(\displaystyle{ \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots \\}\)
ktoś chyba mnie chciał nastraszyć ;P
-
- Użytkownik
- Posty: 1406
- Rejestracja: 6 maja 2012, o 22:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 107 razy
- Pomógł: 145 razy
postać wykładnicz liczby zespolonej
rozwiń funkcję \(\displaystyle{ e^x}\) w szereg, to zobaczysz zależność. Jest to jeden z dowodów na to, że
\(\displaystyle{ e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi}\)
\(\displaystyle{ e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi}\)