\(\displaystyle{ z^{2} = -1}\)
Wiem, że za z podstawia się \(\displaystyle{ x+iy}\) i wtedy otrzymam wzór skróconego mnożenia, później mam utworzyć układ równań z częścią rzeczywistą i urojoną - schemat znam, ale niestety nie wychodzi mi wynik taki jaki jest podany \(\displaystyle{ (z=1 \vee z=-1)}\). Co jest nie tak?
Równanie z niewiadomą z
-
Agata931017
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 9 sie 2013, o 19:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Równanie z niewiadomą z
Ostatnio zmieniony 9 sie 2013, o 20:05 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
jarek4700
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
Równanie z niewiadomą z
\(\displaystyle{ x^{2} + 2ixy - y^{2} = -1}\)
Więc:
\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2} = -1}\)
\(\displaystyle{ xy = 0}\)
Zatem albo \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ y}\) musi być zero, oba naraz nie mogą bo wtedy pierwsze równanie nie zachodzi, ponadto zauważ że gdyby \(\displaystyle{ y=0}\) to \(\displaystyle{ x^{2} = -1}\) co jest sprzeczne bo \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą rzeczywistą.
Ostatnia możliwość to \(\displaystyle{ x=0}\), wtedy \(\displaystyle{ y^{2} = 1}\) co prowadzi do właściwego rozwiązania : \(\displaystyle{ z = 0 + 1\cdot i \cup z = 0 + (-1)\cdot i}\)
Więc:
\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2} = -1}\)
\(\displaystyle{ xy = 0}\)
Zatem albo \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ y}\) musi być zero, oba naraz nie mogą bo wtedy pierwsze równanie nie zachodzi, ponadto zauważ że gdyby \(\displaystyle{ y=0}\) to \(\displaystyle{ x^{2} = -1}\) co jest sprzeczne bo \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą rzeczywistą.
Ostatnia możliwość to \(\displaystyle{ x=0}\), wtedy \(\displaystyle{ y^{2} = 1}\) co prowadzi do właściwego rozwiązania : \(\displaystyle{ z = 0 + 1\cdot i \cup z = 0 + (-1)\cdot i}\)
-
Agata931017
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 9 sie 2013, o 19:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Równanie z niewiadomą z
Jej no nawet źle odpowiedź przepisałam co za fail... ech. No ja własnie wyciągałam, że \(\displaystyle{ y = 0}\) i to jak widać był błąd. Dziękuję bardzo!
A taki przykład:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1-3i\right) ^{3} }{2+2i}}\) ?
Również nie wiem dlaczego nie wychodzi, stosuje najpierw wzór skróconego mnożenia i potem mnożę przez sprzężenie.
Tu wynik ma być: \(\displaystyle{ -2+11i}\).
A taki przykład:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1-3i\right) ^{3} }{2+2i}}\) ?
Również nie wiem dlaczego nie wychodzi, stosuje najpierw wzór skróconego mnożenia i potem mnożę przez sprzężenie.
Tu wynik ma być: \(\displaystyle{ -2+11i}\).
-
jarek4700
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
Równanie z niewiadomą z
\(\displaystyle{ \frac{(1-3\cdot1\cdot3i+3\cdot1\cdot(-9)-27i^{3})(2-2i)}{8}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(-26+18i)(2-2i)}{8} = \frac{1}{2}\cdot(-13+9i)(1-i) = \frac{-4 + 22i}{2} = -2 + 11i}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(-26+18i)(2-2i)}{8} = \frac{1}{2}\cdot(-13+9i)(1-i) = \frac{-4 + 22i}{2} = -2 + 11i}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie z niewiadomą z
Można skorzystać ze wzoru de Moivre
\(\displaystyle{ z^{n}=\left| z\right|^{n}\left( \cos{\left( n \cdot {\rm arg}\left( z\right)\right) }+i\sin{\left( n \cdot {\rm arg}\left( z\right) \right) }\right) \\
z^{ \frac{1}{n} }=\left| z\right|^{ \frac{1}{n} }\left( \cos{\left( \frac{{\rm arg}\left( z\right)+2k\pi }{n} \right) }+i\sin{\left( \frac{{\rm arg}\left( z\right)+2k\pi }{n} \right)}\right) \\
k\in\mathbb{Z}_n}\)
W tym drugim przykładzie gdyby chciał w układzie biegunowym policzyć to argument byłby
wyrażony za pomocą funkcji cyklometrycznej ,więc może lepiej będzie pomnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika a następnie wymnożyć
\(\displaystyle{ z^{n}=\left| z\right|^{n}\left( \cos{\left( n \cdot {\rm arg}\left( z\right)\right) }+i\sin{\left( n \cdot {\rm arg}\left( z\right) \right) }\right) \\
z^{ \frac{1}{n} }=\left| z\right|^{ \frac{1}{n} }\left( \cos{\left( \frac{{\rm arg}\left( z\right)+2k\pi }{n} \right) }+i\sin{\left( \frac{{\rm arg}\left( z\right)+2k\pi }{n} \right)}\right) \\
k\in\mathbb{Z}_n}\)
W tym drugim przykładzie gdyby chciał w układzie biegunowym policzyć to argument byłby
wyrażony za pomocą funkcji cyklometrycznej ,więc może lepiej będzie pomnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika a następnie wymnożyć
Ostatnio zmieniony 15 sie 2013, o 10:10 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Indeksy dolne nie funkcjonują najlepiej w otoczeniu \mathbb
Powód: Indeksy dolne nie funkcjonują najlepiej w otoczeniu \mathbb
-
Gouranga
- Użytkownik
- Posty: 1590
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 246 razy
Równanie z niewiadomą z
zawsze można sposobem geometrycznym znaleźć pierwiastki 2 stopnia z \(\displaystyle{ -1}\)
czyli liczysz:
\(\displaystyle{ z^2 = -1\\
z = \sqrt{-1}\\
|-1| = 1\\
\sqrt{|-1|} = 1\\
\alpha = \pi\\
\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}\\
\alpha_z = \frac{\pi}{2} \vee \alpha_z = \frac{3}{2}\pi\\}\)
Rysujesz okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), zaznaczasz \(\displaystyle{ \varepsilon_0; \varepsilon_1}\) zgodnie z tym co wyszło i odczytujesz od razu wartości \(\displaystyle{ i, -i}\)
czyli liczysz:
\(\displaystyle{ z^2 = -1\\
z = \sqrt{-1}\\
|-1| = 1\\
\sqrt{|-1|} = 1\\
\alpha = \pi\\
\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}\\
\alpha_z = \frac{\pi}{2} \vee \alpha_z = \frac{3}{2}\pi\\}\)
Rysujesz okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), zaznaczasz \(\displaystyle{ \varepsilon_0; \varepsilon_1}\) zgodnie z tym co wyszło i odczytujesz od razu wartości \(\displaystyle{ i, -i}\)