Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 8}\) o współczynnikach rzeczywistych, którego druga pochodna jest – dla wszystkich argumentów rzeczywistych – dodatnia. Czy wynika stąd że \(\displaystyle{ P}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki zespolone nierzeczywiste?
Skoro druga pochodna jest zawsze dodatnia to \(\displaystyle{ P}\) jest funkcją wypukłą. Może mieć zatem dwa lub jeden pierwiastki rzeczywiste lub nie mieć ich w ogóle. Ja tą funkcję wyobrażam sobie jako taką "parabolę" z ramionami skierowanymi ku górze.
Nie mam jednak pojęcia jak pokazać, że taka funkcja ma dwa pierwiastki zespolone. Liczę na wskazówkę.
Pierwiastki zespolone wielomianu wypukłego
-
szw1710
Pierwiastki zespolone wielomianu wypukłego
Intuicja bardzo dobra. Mianowicie funkcja wypukła do pewnego miejsca maleje, a od niego rośnie. Więc mamy albo zero, albo jeden, albo dwa pierwiastki rzeczywiste. Jednego mieć nie będziesz (chyba że dwukrotny), bo w rozkładzie na czynniki masz wielomian stopnia \(\displaystyle{ 7}\) mający zawsze pierwiastek rzeczywisty. No więc jeśli jeden, to ewentualnie dwukrotny. Dobrze. Więc w rozkładzie na czynniki mamy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 6}\) bez pierwiastków rzeczywistych. Tak więc jego pierwiastki (istnieją na mocy zasadniczego twierdzenia algebry) są zespolone i nierzeczywiste. Mamy ich trzy pary, w każdej z nich pierwiastki są wzajemnie sprzężone.
Można też próbować zastosować twierdzenie o pierwiastkach wielokrotnych wiążące pochodną wielomianu. Ale wypukłość jest tu fajniejszym narzędziem.
Można też próbować zastosować twierdzenie o pierwiastkach wielokrotnych wiążące pochodną wielomianu. Ale wypukłość jest tu fajniejszym narzędziem.