Postać kartezjańska-trygonometryczna liczby zespolonej

[piotrek6984]

\(\displaystyle{ z=1- \sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ z=\left|z \right|(\cos \alpha +i\sin \alpha )}\)
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{1 ^{2}+ - \sqrt{3} ^{2} }=2}\)
\(\displaystyle{ \alpha =\arctg \frac{- \sqrt{3} }{1}=\arctg \frac{b}{a}; b-cz.urojona,a-cz.rzeczywista}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \alpha =- \frac{ \pi }{3}}\)
\(\displaystyle{ z=2(\cos \frac{- \pi }{3}+i\sin \frac{- \pi }{3})}\)
Prawda?

[mechatronik300]

Prawda

[piotrek6984]

I jak przed wartością kąta (tu: \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{3}}\)) znajduje się "-" (kąt ujemny), równoważnym zapisem tego kąta jest: \(\displaystyle{ \frac{6 \pi - \pi }{3} = \frac{5 \pi }{3}}\) ?

[bakala12]

Tak bo kąt pełny ma miarę \(\displaystyle{ 2 \pi}\) więc \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{3}}\) to w zasadzie to samo co \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{3}}\)

[piotrek6984]

\(\displaystyle{ e ^{i \alpha } = \cos \alpha +i\sin \alpha}\)
Czyli dla powyższych danych:
\(\displaystyle{ 2e ^{i\cdot \frac{5\pi}{3}} = 2\cos \frac{5\pi}{3}+2i\sin \frac{5\pi}{3}}\)
1. Dlaczego liczba będąca podstawą logarytmu naturalnego jest podnoszona do potęgi?
2. Co oznacza zapis \(\displaystyle{ i \frac{5\pi}{3}}\)? Czy wartość kąta (-60 stopni, czyli wektor został przesunięty o 300 stopni w ruchu przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) jest urojona (obok jest 'i')?

[yorgin]

\(\displaystyle{ 2e ^{i\cdot \frac{5\pi}{3}} = \cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}}\)

Źle. Co się stało z dwójką?

1. Dlaczego liczba będąca podstawą logarytmu naturalnego jest podnoszona do potęgi?
2. Co oznacza zapis \(\displaystyle{ i \frac{5\pi}{3}}\)? Czy wartość kąta (-60 stopni, czyli wektor został przesunięty o 300 stopni w ruchu przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) jest urojona (obok jest 'i')?

To się nazywa postać wykładnicza liczby zespolonej.

\(\displaystyle{ z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi) = |z| e^{i\varphi}\;.}\)

[piotrek6984]

Ale dlaczego jest \(\displaystyle{ e\ (\sim2.71...)}\) ?

-- 15 lip 2013, o 14:28 --

Zatem \(\displaystyle{ z=2e ^{ \frac{\pi}{2} }}\) oznacza, że wektor ma moduł równy \(\displaystyle{ 2}\), i ten wektor obracam z punktu \(\displaystyle{ (2,0)}\) o \(\displaystyle{ 90}\) stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (wtedy część rzeczywista to \(\displaystyle{ 0}\), zatem liczba \(\displaystyle{ z = (0,2)}\) . Zapis \(\displaystyle{ z=2e ^{\pi}}\) oznacza, że wektor obracam o \(\displaystyle{ 180}\) stopni, zatem liczba \(\displaystyle{ z= -1}\).

[yorgin]

Ale dlaczego jest \(\displaystyle{ e\ (\sim2.71...)}\) ?

Dlatego, że zachodzi wzór

\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi}\)

Zatem \(\displaystyle{ z=2e ^{ \frac{\pi}{2} }}\) oznacza, że wektor ma moduł równy \(\displaystyle{ 2}\), i ten wektor obracam z punktu \(\displaystyle{ (2,0i)}\) o \(\displaystyle{ 90}\) stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (wtedy część rzeczywista to \(\displaystyle{ 0}\),

Źle. Bez \(\displaystyle{ i}\) w wykładniku masz liczbę rzeczywistą, wszystkie dalsze słowa są bezpodstawne. Nie zapisujemy \(\displaystyle{ (2,0i)}\) gdyż to nie jest reprezentacja kartezjańska liczby \(\displaystyle{ 2+0i}\).

zatem liczba \(\displaystyle{ z = (0,2i)}\) .

Jak wyżej. I skąd masz \(\displaystyle{ z=(0,2)}\)? Jak byś znalazł \(\displaystyle{ z}\) gdyby obracano dany punkt o na przykład \(\displaystyle{ 75^0}\)

Zapis \(\displaystyle{ z=2e ^{ \frac{\pi} }}\) oznacza, że wektor obracam o \(\displaystyle{ 180}\) stopni, zatem liczba \(\displaystyle{ z=(-1,0i)}\).

Jak wyżej. Brakuje mianownika w wykładniku oraz jednostki urojonej.

[piotrek6984]

Popełniłem błędy przy zapisie.
\(\displaystyle{ z=2+0i = (2,0)}\)
\(\displaystyle{ r=2}\)
\(\displaystyle{ z=2 e^{i0} = 2}\)
zatem gdy: \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{2}}\) (przekręcam wektor w lewą stronę o \(\displaystyle{ 90}\) stopni):
\(\displaystyle{ z=2e ^{i \frac{\pi}{2} } = 2i = 0+2i = (0,2)}\) - wektor na osi liczb urojonych, \(\displaystyle{ \mbox{Re}=0}\).
gdy natomiast \(\displaystyle{ \alpha = \pi}\) (przekręcam o \(\displaystyle{ 180}\) stopni), wtedy \(\displaystyle{ z=2e ^{i\pi} = -2 = -2+0i}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ z=e ^{i\pi} = -2 = -2+0i}\)

Mały błąd. Brakuje dwójki przed \(\displaystyle{ e^{i\pi}}\).