Zespolony wielomian i jego pierwiastki

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Zespolony wielomian i jego pierwiastki

Post autor: MakCis »

Wielomian \(\displaystyle{ P(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d}\) o współczynnikach zespolonych ma wszystkie (zespolone) pierwiastki w kole o środku \(\displaystyle{ -1000+i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Pokazać, że wszystkie współczynniki są dodatnie (\(\displaystyle{ a,b,c,d > 0}\)).
Kamaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 13 kwie 2013, o 13:44
Płeć: Kobieta
Pomógł: 21 razy

Zespolony wielomian i jego pierwiastki

Post autor: Kamaz »

Te współczynniki nie muszą być rzeczywiste, więc nie można powiedzieć, że są dodatnie.
Awatar użytkownika
omicron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 39 razy

Zespolony wielomian i jego pierwiastki

Post autor: omicron »

Jeśli chodzi o wsp. rzeczywiste, to rozwiązaniem jest tw. Hurwitza (warunek konieczny).
Kamaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 13 kwie 2013, o 13:44
Płeć: Kobieta
Pomógł: 21 razy

Zespolony wielomian i jego pierwiastki

Post autor: Kamaz »

Jeśli chodzi o współczynniki rzeczywiste, to \(\displaystyle{ P(X)=(X+1000)^4}\).
Awatar użytkownika
omicron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 39 razy

Zespolony wielomian i jego pierwiastki

Post autor: omicron »

Racja, upraszcza to sprawę
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Zespolony wielomian i jego pierwiastki

Post autor: MakCis »

Pomyliłem się przepisując treść zadania. Chodziło o to aby pokazać, że

\(\displaystyle{ Re(a) > 0 \\ Re(b) >0 \\ Re(c) >0 \\ Re(d) > 0}\)
Awatar użytkownika
omicron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 39 razy

Zespolony wielomian i jego pierwiastki

Post autor: omicron »

Spróbuj użyć wzorów Viete'a. Dla \(\displaystyle{ a}\) sprawa jest dość prosta, z pozostałymi trochę więcej kłopotów.
Kamaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 13 kwie 2013, o 13:44
Płeć: Kobieta
Pomógł: 21 razy

Zespolony wielomian i jego pierwiastki

Post autor: Kamaz »

Dla uproszczenia rachunków patrzymy na koło o środku \(\displaystyle{ -1000}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\), które zawiera koło z treści zadania. Niech \(\displaystyle{ z_0=-1000}\) a \(\displaystyle{ z_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,4}\) będą pierwiastkami \(\displaystyle{ P}\).

\(\displaystyle{ |z_iz_j-z_0^2|\le|(z_i-z_0)(z_j-z_0)|+|z_0(z_i+z_j-2z_0)|\le 2^2+1000\cdot2\cdot2=4004.}\)

Stąd i ze wzorów Viète’a \(\displaystyle{ |b-6000000|=|b-6z_0^2|\le 24024}\), więc \(\displaystyle{ \mathrm{Re}\;b\ge5975976}\).

Z kolejnymi współczynnikami jest więcej dłubania...

\(\displaystyle{ |z_iz_jz_k-z_0^3|\le|(z_i-z_0)(z_j-z_0)(z_k-z_0)|+\\
|z_0(z_iz_j+z_jz_k+z_kz_i-3z_0^2)|+\\
|z_0^2(-z_i-z_j-z_k+3z_0)|\le\ldots}\)


Szacując drugi nawias korzystamy z wcześniejszego wyniku.
ODPOWIEDZ