Zespolony wielomian i jego pierwiastki
-
- Użytkownik
- Posty: 1023
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 15 razy
Zespolony wielomian i jego pierwiastki
Wielomian \(\displaystyle{ P(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d}\) o współczynnikach zespolonych ma wszystkie (zespolone) pierwiastki w kole o środku \(\displaystyle{ -1000+i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Pokazać, że wszystkie współczynniki są dodatnie (\(\displaystyle{ a,b,c,d > 0}\)).
Zespolony wielomian i jego pierwiastki
Te współczynniki nie muszą być rzeczywiste, więc nie można powiedzieć, że są dodatnie.
Zespolony wielomian i jego pierwiastki
Jeśli chodzi o współczynniki rzeczywiste, to \(\displaystyle{ P(X)=(X+1000)^4}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1023
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 15 razy
Zespolony wielomian i jego pierwiastki
Pomyliłem się przepisując treść zadania. Chodziło o to aby pokazać, że
\(\displaystyle{ Re(a) > 0 \\ Re(b) >0 \\ Re(c) >0 \\ Re(d) > 0}\)
\(\displaystyle{ Re(a) > 0 \\ Re(b) >0 \\ Re(c) >0 \\ Re(d) > 0}\)
- omicron
- Użytkownik
- Posty: 305
- Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 39 razy
Zespolony wielomian i jego pierwiastki
Spróbuj użyć wzorów Viete'a. Dla \(\displaystyle{ a}\) sprawa jest dość prosta, z pozostałymi trochę więcej kłopotów.
Zespolony wielomian i jego pierwiastki
Dla uproszczenia rachunków patrzymy na koło o środku \(\displaystyle{ -1000}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\), które zawiera koło z treści zadania. Niech \(\displaystyle{ z_0=-1000}\) a \(\displaystyle{ z_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,4}\) będą pierwiastkami \(\displaystyle{ P}\).
\(\displaystyle{ |z_iz_j-z_0^2|\le|(z_i-z_0)(z_j-z_0)|+|z_0(z_i+z_j-2z_0)|\le 2^2+1000\cdot2\cdot2=4004.}\)
Stąd i ze wzorów Viète’a \(\displaystyle{ |b-6000000|=|b-6z_0^2|\le 24024}\), więc \(\displaystyle{ \mathrm{Re}\;b\ge5975976}\).
Z kolejnymi współczynnikami jest więcej dłubania...
\(\displaystyle{ |z_iz_jz_k-z_0^3|\le|(z_i-z_0)(z_j-z_0)(z_k-z_0)|+\\
|z_0(z_iz_j+z_jz_k+z_kz_i-3z_0^2)|+\\
|z_0^2(-z_i-z_j-z_k+3z_0)|\le\ldots}\)
Szacując drugi nawias korzystamy z wcześniejszego wyniku.
\(\displaystyle{ |z_iz_j-z_0^2|\le|(z_i-z_0)(z_j-z_0)|+|z_0(z_i+z_j-2z_0)|\le 2^2+1000\cdot2\cdot2=4004.}\)
Stąd i ze wzorów Viète’a \(\displaystyle{ |b-6000000|=|b-6z_0^2|\le 24024}\), więc \(\displaystyle{ \mathrm{Re}\;b\ge5975976}\).
Z kolejnymi współczynnikami jest więcej dłubania...
\(\displaystyle{ |z_iz_jz_k-z_0^3|\le|(z_i-z_0)(z_j-z_0)(z_k-z_0)|+\\
|z_0(z_iz_j+z_jz_k+z_kz_i-3z_0^2)|+\\
|z_0^2(-z_i-z_j-z_k+3z_0)|\le\ldots}\)
Szacując drugi nawias korzystamy z wcześniejszego wyniku.