Równanie w liczbach zespolonych
-
- Użytkownik
- Posty: 1023
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 15 razy
Równanie w liczbach zespolonych
Rozważmy równanie \(\displaystyle{ z^m = z^n}\) w liczbach zespolonych. W jaki sposób można je rozwiązać lub chociaż podać ilość liczb zespolonych które je spełniają? Np. dla \(\displaystyle{ m=4}\) i \(\displaystyle{ n=12}\) lub \(\displaystyle{ m=3}\) i \(\displaystyle{ n=10}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Równanie w liczbach zespolonych
Bez straty ogólności rozumowania możemy założyć, że \(\displaystyle{ m \ge n}\). Wtedy
\(\displaystyle{ z ^{n}\left(z ^{m-n} -1 \right)=0}\)
i dalej ze wzoru de Moivre'a.
\(\displaystyle{ z ^{n}\left(z ^{m-n} -1 \right)=0}\)
i dalej ze wzoru de Moivre'a.
-
- Użytkownik
- Posty: 1023
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 15 razy
Równanie w liczbach zespolonych
Czyli dla \(\displaystyle{ m=4}\) i \(\displaystyle{ n=12}\) będziemy mieli \(\displaystyle{ 8}\) takich pierwiastków? Bo okazuje się, że dla \(\displaystyle{ m=3}\) i \(\displaystyle{ n = 10}\) mamy \(\displaystyle{ 8}\) takich pierwiastków, a dla \(\displaystyle{ m=1}\) i \(\displaystyle{ n = 5}\) mamy \(\displaystyle{ 5}\) pierwiastków. Nie mam pojęcia z czego to się bierze.
Dodatkowo w treści zadania dopisano, że każdą liczbę z spełniającą równanie liczymy jako jedno rozwiązanie niezależnie od krotności tej liczby jako pierwiastka wielomianu, który można otrzymać przekształcając dane równanie. Ale zupełnie nie rozumiem co to oznacza.
Dodatkowo w treści zadania dopisano, że każdą liczbę z spełniającą równanie liczymy jako jedno rozwiązanie niezależnie od krotności tej liczby jako pierwiastka wielomianu, który można otrzymać przekształcając dane równanie. Ale zupełnie nie rozumiem co to oznacza.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Równanie w liczbach zespolonych
Nie policzyłeś jednego.Czyli dla \(\displaystyle{ m=4}\) i \(\displaystyle{ n=12}\) będziemy mieli \(\displaystyle{ 8}\) takich pierwiastków?
Mamy:
\(\displaystyle{ z ^{12}-z^{4}=0}\)
\(\displaystyle{ z^{4}\left( z^{8}-1\right)=0}\)
\(\displaystyle{ z^{4}=0 \vee z^{8}=1}\)
Z pierwszego mamy tylko \(\displaystyle{ z=0}\) (pierwiastek poczwórny, ale liczymy go tylko raz) a z drugiego mamy 8 pierwiastków, czyli razem jest ich 9.
Łatwo policzyć, że pierwiastków zawsze będzie dokładnie \(\displaystyle{ \left| m-n\right|+1}\)