Równanie w liczbach zespolonych

[MakCis]

Rozważmy równanie \(\displaystyle{ z^m = z^n}\) w liczbach zespolonych. W jaki sposób można je rozwiązać lub chociaż podać ilość liczb zespolonych które je spełniają? Np. dla \(\displaystyle{ m=4}\) i \(\displaystyle{ n=12}\) lub \(\displaystyle{ m=3}\) i \(\displaystyle{ n=10}\) ?

[bakala12]

Bez straty ogólności rozumowania możemy założyć, że \(\displaystyle{ m \ge n}\). Wtedy
\(\displaystyle{ z ^{n}\left(z ^{m-n} -1 \right)=0}\)
i dalej ze wzoru de Moivre'a.

[MakCis]

Czyli \(\displaystyle{ z^n = 0}\) lub \(\displaystyle{ z^{m-n} = 1}\). Pierwsze daje nam \(\displaystyle{ z=0}\) zaś drugie z de Moivre'a ?

[bakala12]

No tak.

[MakCis]

Czyli dla \(\displaystyle{ m=4}\) i \(\displaystyle{ n=12}\) będziemy mieli \(\displaystyle{ 8}\) takich pierwiastków? Bo okazuje się, że dla \(\displaystyle{ m=3}\) i \(\displaystyle{ n = 10}\) mamy \(\displaystyle{ 8}\) takich pierwiastków, a dla \(\displaystyle{ m=1}\) i \(\displaystyle{ n = 5}\) mamy \(\displaystyle{ 5}\) pierwiastków. Nie mam pojęcia z czego to się bierze.

Dodatkowo w treści zadania dopisano, że każdą liczbę z spełniającą równanie liczymy jako jedno rozwiązanie niezależnie od krotności tej liczby jako pierwiastka wielomianu, który można otrzymać przekształcając dane równanie. Ale zupełnie nie rozumiem co to oznacza.

[bakala12]

Czyli dla \(\displaystyle{ m=4}\) i \(\displaystyle{ n=12}\) będziemy mieli \(\displaystyle{ 8}\) takich pierwiastków?

Nie policzyłeś jednego.
Mamy:
\(\displaystyle{ z ^{12}-z^{4}=0}\)
\(\displaystyle{ z^{4}\left( z^{8}-1\right)=0}\)
\(\displaystyle{ z^{4}=0 \vee z^{8}=1}\)
Z pierwszego mamy tylko \(\displaystyle{ z=0}\) (pierwiastek poczwórny, ale liczymy go tylko raz) a z drugiego mamy 8 pierwiastków, czyli razem jest ich 9.
Łatwo policzyć, że pierwiastków zawsze będzie dokładnie \(\displaystyle{ \left| m-n\right|+1}\)

[Dasio11]

Chyba, że \(\displaystyle{ n=0,}\) to wtedy jest ich \(\displaystyle{ m.}\)

[omicron]

I gdy \(\displaystyle{ n=m}\) pierwiastków jest nieskończenie wiele.