Rysowanie zbiorów na płaszczyźnie zespolonej

[Jolka-]

Witam. Po raz kolejny mam problem z narysowaniem zbioru na płaszczyźnie zespolonej. Teść zadania brzmi, naturalnie - Na płaszczyźnie zespolonej naszkicować zbiór:

\(\displaystyle{ \left\{z \in C: \frac{ \pi }{6} \le arg \frac{z(1+i)}{-1+i} \le \frac{ \pi }{3} \right\}}\)

Nie mam zielonego pojęcia jak to ruszyć. Próbowałam podstawić \(\displaystyle{ z=x+iy}\) ale nie wychodzi mi nic mądrego. Co w tym wszystkim robi ten argument, jak się do tego odnieść? Byłabym bardzo wdzięczna za naprowadzenie lub zaprezentowanie jakiegoś cudownego sposobu na rozwiązanie tego typu zadania. Pozdrawiam

[bakala12]

\(\displaystyle{ z\frac{i+1}{i-1}=z\left( i+1\right) ^{2}=z\left( 2i\right) =2zi}\)

[ares41]

Następnie podstawienie \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i korzystasz z faktu, że \(\displaystyle{ \tg(\arg{z})= \frac{\Im{z}}{\Re{z}}}\) oraz z tego, że tangens jest na zadanym przedziale ściśle rosnący.

[Jolka-]

Rozumiem, że mianownik jest likwidowany przez sprzężenie, ale mi wychodzi inny wynik. Wygląda to tak

\(\displaystyle{ z \frac{i+1}{i-1}( \frac{i+1}{i+1})= \frac{ i^{2}+i+i+1 }{ i^{2}+i-i-1 }= \frac{ i^{2}+2i+1 }{-2}= \frac{2i}{-2}=-i}\)

Coś źle liczę? Nie rozumiem też skąd wzięty jest fakt, że \(\displaystyle{ \tg(\agr{z})= \frac{Im z}{Re z}}\). Znacie może jakąś stronę, na której byłoby to w jakikolwiek sposób wyjaśnione? Przekopałam się przez całe moje notatki i nic konkretnego w tym temacie nie znalazłam.

[bakala12]

Jolka-, przepraszam mój błąd (swoją drogą za często mylę się w rachunkach ostatnio).
Twoja wersja jest dobra nie licząc zgubionego \(\displaystyle{ z}\).
Co do faktu że \(\displaystyle{ \tg\left( \arg{z}\right)= \frac{Im z}{Re z}}\)
to łatwo go zobaczyć rozpatrując interpretację geometryczną liczby zespolonej.