Szereg Laurenta - jedno pytanie

[jolkajolka]

Cześć!
Mam jedno pytanie dotyczące szeregu Laurenta. Gdy mam zadanie:
Rozwiń funkcję f(z) w szereg Laurenta w podanym obszarze
\(\displaystyle{ \frac{1}{z} + \frac{1}{z-1} +\frac{1}{z+1}}\) dla \(\displaystyle{ 0<|z|<1}\)
To jakie ma znaczenie ten przedział? Wiem jak "przerobić" te elementy funkcji w szereg Laurenta, ale nie wiem jak zinterpretować ten obszar i jak zmienił by się mój wyniki gdyby obszar był inny.
Będę bardzo wdzięczna za odpowiedź!

[Barbara777]

Czesc!
Do rozwiniecia uzywaj taki szereg (znany, pomocniczo), ktory jest zbiezny w danym obszarze.
Tutaj to bedzie

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n, \quad |z|<1}\)

Pierwszy skladnik nie ruszaj, dwa pozostale rozwijasz przy pomocy szeregu wyzej i dostaniesz czesc glowna \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\), okreslona przy \(\displaystyle{ |z|>0}\) i szereg zbiezny przy \(\displaystyle{ |z|<1}\), calosc w wyklutym kole \(\displaystyle{ 0<|z|<1}\), czyli to, co trzeba.

[jolkajolka]

Dzięki!
Ale nadal nie rozumiem jak mam postępować gdy przedział wynosi np:
\(\displaystyle{ 1<|z|<2}\) czy \(\displaystyle{ 1<|z|< \infty}\)

[Barbara777]

Dana funkcje mozna rozwinac w szeregi Laurenta tylko w okreslonych obszarach (Np twojej funkcji nie mozna rozwinac w pierscieniu \(\displaystyle{ P(2;1,\infty)}\). Wiec dobierz sobie zawsze taki znany szereg ( w szkolnych zadaniach to jest zwykle latwe), ktory "pasuje" i przeksztalc wzor funkci tak, by dostac zadany obszar.
Chcesz miec w twoim przykladzie |z|>1, to bierzesz jako pomocniczy ten szereg, co ci podalam wyzej, ale funkcje przeksztalcasz tak, zeby dostac zbieznosc dla |z|>1. Czyli: wiesz, ze szereg \(\displaystyle{ \sum z^n}\) jest zbiezny przy |z|<1, to musisz tak poczarowac, zeby miec \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\), rozpisze ci jeden czlon, chocaiz napewno juz wiesz, o co chodzi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}=\frac{1}{z(1-\frac{1}{z})}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\frac{1}{z}\Big)^n= \frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n+1}}}\)

zbiezny przy \(\displaystyle{ |\frac{1}{z}|<1}\) czyli \(\displaystyle{ |z|>1}\).

[jolkajolka]

Ok, dzięki, rozumiem ten konkretny przykład, ale jednak nadal nie za bardzo rozumiem zastosowanie tego w innych przykładach...
Mam zadanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} + \frac{1}{z-2}}\)
i wyniki dla \(\displaystyle{ 1<|z|<2}\) i dla \(\displaystyle{ 2<|z|< \infty}\)są inne. Mógłby ktoś mi wskazać w którym konkretnie miejscu w rozwinięciu w szereg Laurenta powstaje różnica w rozwiązaniach?

[Barbara777]

Rozumienm, ze oczekujesz odpowiedzi od kogos innego, ale ja sprobuje po raz ostatni. ))

Roznica jezt juz na poczatku, przeksztalca sie inaczej.

Pierscien \(\displaystyle{ 1<|z|<2}\):

Myslisz tak: Bede korzystac z szeregu \(\displaystyle{ \sum_n t^n}\), ktory jest zbiezny dla \(\displaystyle{ |t|<1}\).
Chce miec zbieznosc dla |z|>1, czyli musze tak przeksztalcic ktorys czlon mojej funkcji, zeby dostac
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{1}{z}}}\).
Dalej. Poszukiwany szereg ma byc zbiezny przy \(\displaystyle{ |z|<2}\), czyli drugi skladnik musze przeksztalcic tak, by dostac \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{z}{2}}}\). Dotad jasne?
Jeden skladniz zbiega sie przy \(\displaystyle{ |z|>1}\), drugi przy \(\displaystyle{ |z|<2}\), czyli calosc w pierscieniu \(\displaystyle{ P(0;1,2)}\)

Pierscien: \(\displaystyle{ |z|>2}\):

Poszukiwany szereg Laurenta ma byc zbiezny przy \(\displaystyle{ |z|>2}\), a wiec, korzystajac z rozwiniecia \(\displaystyle{ \sum_n t^n}\), zbieznego przy \(\displaystyle{ |t|<1}\) musze zrobic tak, by w jednym skladniku pojawilo sie wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{2}{z}}}\). A drugi skladnik musze tak przeksztalcic, zeby zbieznosc przy \(\displaystyle{ |z|>2}\) zostala zacxhowana. Wszystko.

Czyli - uwaga! - najpierw ustalasz sobie znany szereg, z ktorego bedziesz korzystac, a potem "pod niego" przeksztalcasz dana funkcje.



Tak dlugo to tlumaczylam, ze nawet sama wreszcie zrozumialam, jak to sie robi. A teraz juz sie poddaje, widocznie nie umiem tlumaczyc, nauczycielka nigdy pewnie nie bede, moze ktos inny ci objasni