Pierwiastki zespolonej i zaznaczenie ich na płaszczyźnie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Jolka-
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 26 cze 2013, o 21:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

Pierwiastki zespolonej i zaznaczenie ich na płaszczyźnie

Post autor: Jolka- »

Witam. Mam problem z dość chyba prymitywnym zadaniem: Obliczyć pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[3]{8-8i}}\) i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej.

Co mam policzone:

\(\displaystyle{ |x|= \sqrt{ 8^{2}+ 8^{2} }= \sqrt{128} \\ \\
\omega_{0}= 128^{ \frac{1}{6} } \left( \cos \frac{7 \pi }{12}+i\sin \frac{7 \pi }{12} \right) \\ \\
\omega_{1}= 128^{ \frac{1}{6} } \left( \cos \frac{5 \pi }{3}+i\sin \frac{5 \pi }{3} \right) \\ \\
\omega_{2}= 128^{ \frac{1}{6} } \left( \cos \frac{23 \pi }{12}+i\sin \frac{23 \pi }{12} \right)}\)


Inna forma drugiego równania:
\(\displaystyle{ \omega_{1}= 128^{ \frac{1}{6} } \left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2}i \right)}\)

I na tym kończy się to, co potrafię sama zrobić (chociaż w zasadzie nie mam pewności czy jest to dobrze). Wiem, że teoretycznie to tylko proste podstawienie pod wzór, ale jednak nie wygląda to zbyt poprawnie. Nie mam też żadnego pomysłu jak to narysować na płaszczyźnie zespolonej i będę bardzo wdzięczna za podpowiedź co o tego, jak należy to zrobić.
Ostatnio zmieniony 26 cze 2013, o 22:11 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Barbara777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 316
Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gówniak k. Bukowiny
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 115 razy

Pierwiastki zespolonej i zaznaczenie ich na płaszczyźnie

Post autor: Barbara777 »

Witojcie.
Dobrze, tylko w \(\displaystyle{ \omega_1}\) masz literowke, w mianowniku ma byc 4, nie?
A rysujesz tak. Wiadomo, ze:
1. Wszystkie pierwiastki leza na tym samym okregu, promien ktorego ma dlugosc rowna \(\displaystyle{ \sqrt[n]{|z|}}\) (w twoim przypadku n=3)
2. Pierwiastki sa wierzcholkami wielokata foremnego (w twoim zadaniu to bedzie trojkat rownoboczny)

Czyli zaznaczasz sobie jeden z pierwiastkow, jakis najprostszy, a potem wedlug (2). Spruboj narysowac sama, a potem sprawdz , napisz (8-8i)^(1/3)
Jolka-
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 26 cze 2013, o 21:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

Pierwiastki zespolonej i zaznaczenie ich na płaszczyźnie

Post autor: Jolka- »

Tak, masz rację, powinno być tam 4, zagapiłam się chyba przy przepisywaniu. Dzięki wielkie za pomoc, narysowałam i wyszło mi tak samo jak w WolframAlpha. Pozdrawiam!
ODPOWIEDZ