Rząd biegunów

[mariolkaa90]

Witam,


mam problem z rozwiązaniem takiego zadania:

Określić rząd każdego bieguna funkcji:

a) \(\displaystyle{ \frac{ \cos(z)}{z^3}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{e^z-1}{z^2}}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{z}{\sin z-z}}\)

d) \(\displaystyle{ \frac{1}{z^3-z^5}}\)

Dziękuję za jakąkolwiek pomoc

[cosinus90]

W którym miejscu pojawia się ten problem? Popraw też zapis.

[Barbara777]

a)\(\displaystyle{ \frac{\cos z}{z^3}}\)
biegun rzedu 3 w zerze, bo \(\displaystyle{ \lim_{z\to 0}\frac{\cos z}{z^3}z^3=1\neq 0}\) a dla nizszych poteg mnoznika modul idzie do nieskonczonosci.

b) \(\displaystyle{ \frac{e^z-1}{z^2}}\)
biegun rzedu 1 w zerze bo \(\displaystyle{ \lim_{z\to 0}\frac{e^z-1}{z^2}z=1\neq 0}\) a dla nizszych poteg mnoznika modul idzie do nieskonczonosci.

c) bieguny pojedyncze w \(\displaystyle{ z_1=1}\) i \(\displaystyle{ z_2=-1}\) i biegun rzedu 3 w \(\displaystyle{ z_0=0}\)
Zobaczysz, kiedy rozlozysz mianownik na czynniki.

[cosinus90]

Barbara777, skoro już dajesz gotowca to dodam, że nie trzeba liczyć granic żeby stwierdzić krotność biegunów. Wystarczy porównać zerowanie się licznika z zerowaniem się mianownika.

[Barbara777]

Barbara777, nie trzeba liczyć granic żeby stwierdzić krotność biegunów. Wystarczy porównać zerowanie się licznika z zerowaniem się mianownika.

Aha, to kaz komus, kto nie ma w tym doswiadczenia, porownac zerowanie sie np\(\displaystyle{ e^{\sin^3z}-\cos z}\) i \(\displaystyle{ e^{z^5}-1}\) Lepiej jest stosowac metode, ktora daje rezultat w wiekszosci zadan.

[cosinus90]

Dziwne przykłady podajesz, bo takich zadań tu nie ma. Wydaje mi się, że znacznie łatwiej jest rozwiązać proste równanie niż liczyć granicę. Stosując Twoją nomenklaturę : "aha, to teraz kaz komus liczyc granice funkcji zespolonej".
Zresztą, niech koleżanka sama zdecyduje co łatwiejsze. Ja temat zostawiam.

[mariolkaa90]

c) bieguny pojedyncze w \(\displaystyle{ z_1=1}\) i \(\displaystyle{ z_2=-1}\) i biegun rzedu 3 w \(\displaystyle{ z_0=0}\)
Zobaczysz, kiedy rozlozysz mianownik na czynniki.

nie rozumiem skąd tutaj \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) ??

Podpunkt a i b już zrobiłam
został c i d

-- 22 cze 2013, o 18:39 --

w c) wychodzi, że mianownik się "zeruje" gdy \(\displaystyle{ \sin z=z}\), czyli gdy \(\displaystyle{ z=0}\).

Ale nie do końca wiem jak tutaj wyznaczyć residua, bo z rzędami biegunów to dam sobie radę

-- 22 cze 2013, o 18:40 --

Zapomniałam napisać w pierwszym poście, że chodzi mi głównie o residua.

[cosinus90]

Owszem, tak właśnie wychodzi.

Ach, jeśli chodzi o residua to inna para kaloszy jakie znasz wzory na liczenie tego?

[mariolkaa90]

\(\displaystyle{ res_{z_0}f(z)=\frac{1}{(k-1)!} \lim_{ z\to z_{0}} ((z-z_{0})^k f(z))^{k-1}}\)

[Barbara777]

Dziwne przykłady podajesz, bo takich zadań tu nie ma. Stosując Twoją nomenklaturę : "aha, to teraz kaz komus liczyc granice funkcji zespolonej".

Czyli esli "takich zadan TU nie ma", to mozna ludziom podsuwac malo uniwrsalne metody ?
A granice zespolone liczy sie tak samo (prosto), jak rzeczywiste, i l'Hôspital dziala.

[cosinus90]

mariolkaa90, zastosuj ten wzór i po sprawie. W czym tkwi problem?

Barbara777, ta metoda jest praktycznie uniwersalna. Pisząc że takich zadań tu nie ma, chodziło mi o to, że specjalnie podałaś udziwnione przykłady (których żaden normalny wykładowca nigdy nie da), żeby zadać kłam temu co napisałem. Prymitywny zabieg psychomanipulacyjny moim zdaniem.
OK, wg Ciebie łatwiej jest policzyć granicę funkcji niż przyrównać mianownik ułamka do zera, Twoja sprawa. Jednak ja mam pewne doświadczenie w nauczaniu innych i uwierz, że większości ludzi dużo łatwiej jest zrobić to drugie.
Daj już spokój.